Co oznacza superskrypt 2 indeks dolny 2 w kontekście norm?

20

Jestem nowy w optymalizacji. Ciągle widzę równania, które mają indeks górny 2 i indeks dolny 2 po prawej stronie normy. Na przykład tutaj jest równanie najmniejszych kwadratów

min||Axb||22

Wydaje mi się, że rozumiem indeks górny 2: oznacza to wyprostowanie wartości normy. Ale czym jest indeks dolny 2? Jak mam czytać te równania?

bernie2436
źródło
3
p θ θ d | | θ | | p = ( d i = 1 | θ i | p ) 1||θ||p to -normacja . Powiedzmy, że ma wymiar , a następnie . pθθd||θ||p=(i=1d|θi|p)1p
Sobi,
Pojedyncze wartości pionowe są używane dla wartości bezwzględnej (wielkości):|θ|
Scortchi - Przywróć Monikę
Dzięki! ... ale do czego służy indeks górny 2? ... indeks dolny dotyczy piątej normy .... dla indeksu górnego?
mathopt
@ user1467929: Squaring - jeśli to coś innego, z pewnością by powiedzieli.
Scortchi - Przywróć Monikę

Odpowiedzi:

19

Masz rację co do indeksu górnego. Indeks dolny określa -norm. p||.||pp

W związku z tym:

||xi||p=(i|xi|p)1/p

I:

||xi||pp=i|xi|p
RUser4512
źródło
ah. I są konwencje znaczeń indeksów dolnych, które widzę. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Tak jak 1 = norma taksówki, 2 = norma
euklidesowa
@ bernie2436: Są to specjalne przypadki ogólnej definicji podanej w powyższej odpowiedzi (z wyjątkiem może sup-normy z )p=
Michael M
14

x x 2 2 x x x 2 : = x2 jest normą euklidesową wektora ; jest kwadratową normą euklidesową . Zauważ, że ponieważ norma euklidesowa jest prawdopodobnie najczęściej stosowaną normą, ludzie zwykle skracają ją przez. Z definicji przy założeniu euklidesowej przestrzeni wektorowej: .xx22xxx2:=x12+x22++xn2

Jak wspomniano w komentarzach, indeks dolny odnosi się do stopnia normy. Inne powszechnie stosowane normy są dla , , a . Dla otrzymuje się liczbę elementów niezerowych w , dla (tj. ) otrzymuje się normę Manhattanu, a dla uzyskuje się maksymalną wartość bezwzględną z elementów w . Zarówno i są popularne w rzadkich / skompresowanych ustawieniach aplikacji, w których chce się „zmusić” niektóre współczynniki do wyzerowania.p = 0 p = 1 p = p = 0 x p = 1 x 1 p = x p = 0 p = 1pp=0p=1p=p=0xp=1x1p=xp=0p=1

usεr11852 mówi Reinstate Monic
źródło