Niech F będzie CDF zmiennej losowej X , więc odwrotną CDF można zapisać F−1 . W całce wykonaj podstawienie p=F(x) , dp=F′(x)dx=f(x)dx aby otrzymać
∫10F−1(p)dp=∫∞−∞xf(x)dx=EF[X].
Dotyczy to ciągłych dystrybucji. Należy zwrócić uwagę na inne dystrybucje, ponieważ odwrotny CDF nie ma unikalnej definicji.
Edytować
Gdy zmienna nie jest ciągła, nie ma rozkładu, który jest absolutnie ciągły w odniesieniu do miary Lebesgue'a, wymagając staranności przy definiowaniu odwrotnego CDF i staranności w całkach obliczeniowych. Rozważmy na przykład przypadek dystrybucji dyskretnej. Z definicji jest to taki, którego CDF F jest funkcją krokową z krokami wielkości PrF(x) dla każdej możliwej wartości x .
Ta Figura przedstawia CDF na Bernoulliego rozkład skalowane przez 2 . Oznacza to, że ma zmienną losową prawdopodobieństwo 1 / 3 wyrównywania 0 , a prawdopodobieństwo 2 / 3 wyrównywania 2 . Wysokości skoków przy 0 i 2 podają ich prawdopodobieństwa. Oczekiwanie tej zmiennej wyraźnie równe 0 x ( 1 / 3 ) + 2 x ( 2 / 3 ) = 4( 2 / 3 )2)1 / 302 / 32)02) .0 x ( 1 / 3 ) + 2 x ( 2 / 3 ) = 4 / 3
Możemy zdefiniować „odwrotny CDF” , wymagającfa- 1
fa- 1( p ) = x, jeśli F( x ) ≥ p i F.( x-)<p.
Oznacza to, że jest również funkcją krokową. Dla każdej możliwej wartości x zmiennej losowej F - 1 osiągnie wartość x w przedziale długości Pr F ( x ) . Dlatego jego całka jest uzyskiwana przez zsumowanie wartości x Pr F ( x ) , co jest tylko oczekiwaniem.F−1xF−1xPrF(x)xPrF(x)
To jest wykres odwrotnego CDF z poprzedniego przykładu. Skoki i 2 / 3 w CDF się poziome linie tych odcinków na wysokości równej 0 i 2 , w których wartości prawdopodobieństwa odpowiadają. (Inverse CDF nie jest określona za przedziału [ 0 , 1 ] ). Jego całka jest sumą dwóch prostokątów, jeden o wysokości 0 i podstawy 1 / 3 , z drugiej wysokości 2 i podstawa 2 / 3 , w wysokości 4 / 3)1/32/302[0,1]01/322/34/3, jak wcześniej.
Ogólnie rzecz biorąc, dla mieszaniny rozkładu ciągłego i dyskretnego musimy zdefiniować odwrotny CDF, aby równolegle tę konstrukcję: przy każdym dyskretnym skoku wysokości musimy utworzyć poziomą linię długości p, jak podano w poprzednim wzorze.pp
Równoważny wynik jest dobrze znany w analizie przeżycia : oczekiwany czas życia wynosi gdzie funkcja przeżycia wynosi S ( t ) = Pr ( T > t ) mierzona od urodzenia w t = 0 . (Można go łatwo rozszerzyć, aby obejmował ujemne wartości t .)
Możemy więc przepisać to jako ale jest to ∫ 1 q = 0 F - 1 ( q )
źródło
Oceniamy:
Spróbujmy z prostą zmianą zmiennej:
Zauważamy, że z definicji PDF i CDF:
prawie wszędzie. Zatem z definicji mamy wartość oczekiwaną:
źródło
For any real-valued random variableX with cdf F it is well-known that F−1(U) has the same law than X when U is uniform on (0,1) . Therefore the expectation of X , whenever it exists, is the same as the expectation of F−1(U) :
źródło
Note thatF(x) is defined as P(X≤x) and is a right-continuous function. F−1 is defined as
źródło