Myślę, że następujące dwie formuły są prawdziwe:
podczas gdy a jest liczbą stałą
jeśli , są niezależne
Nie jestem jednak pewien, co jest nie tak z poniższymi:
który nie jest równy , tj. .
Jeśli założymy, że jest próbką pobraną z populacji, myślę, że zawsze możemy założyć, że jest niezależny od innych ów.
Więc co jest nie tak z moim zamieszaniem?
Odpowiedzi:
Problem z twoim rozumowaniem jest następujący
nie jest niezależny od X . Symbol X odnosi się tutaj do tej samej zmiennej losowej. Gdy poznasz wartość pierwszego X pojawiającego się w formule, to również ustala wartość drugiego X, który się pojawi. Jeśli chcesz, aby odnosiły się do różnych (i potencjalnie niezależnych) zmiennych losowych, musisz oznaczyć je różnymi literami (np. X i Y ) lub za pomocą indeksów dolnych (np. X 1 i X 2 ); ta ostatnia jest często (ale nie zawsze) używana do oznaczania zmiennych pochodzących z tego samego rozkładu.X X X X X X Y X1 X2
Jeśli dwie zmienne i Y są niezależne wtedy Pr ( X = | Y = b ) jest taka sama jak Pr ( X = ) : znając wartość Y nie daje nam żadnych dodatkowych informacji na temat wartości X . Ale Pr ( X = a | X = b ) wynosi 1, jeśli a = b, a 0 w przeciwnym razie: znając wartość XX Y Pr(X=a|Y=b) Pr(X=a) Y X Pr(X=a|X=b) 1 a=b 0 X daje pełną informację o wartości . [Prawdopodobieństwa w tym akapicie można zastąpić funkcjami rozkładu skumulowanego lub, w stosownych przypadkach, funkcjami gęstości prawdopodobieństwa, aby uzyskać zasadniczo ten sam efekt.]X
Innym sposobem postrzegania rzeczy jest to, że jeśli dwie zmienne są niezależne, wówczas mają zerową korelację (choć zerowa korelacja nie oznacza niezależności !), Ale jest doskonale skorelowane z samym sobą, Corr ( X , X ) = 1, więc X nie może być niezależny o sobie. Zauważ, że ponieważ kowariancja jest podawana przez Cov ( X , Y ) = Corr ( X , Y ) √X Corr(X,X)=1 X , a następnieCov(X,X)=1 √Cov(X,Y)=Corr(X,Y)Var(X)Var(Y)−−−−−−−−−−−−√
Bardziej ogólną formułą wariancji sumy dwóch zmiennych losowych jest
W szczególności , więcCov(X,X)=Var(X)
co jest tym samym, co można wywnioskować z zastosowania reguły
Jeśli interesuje Cię liniowość, możesz być zainteresowany dwuliniowością kowariancji. Dla zmiennych losowych , X , Y i Z (zależnych lub niezależnych) i stałych a , b , c i d mamyW X Y Z a b c d
i ogólnie
Następnie możesz użyć tego do udowodnienia (nieliniowych) wyników dla wariancji, które napisałeś w swoim poście:
The latter gives, as a special case whena=b=1 ,
WhenX and Y are uncorrelated (which includes the case where they are independent), then this reduces to Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) .
So if you want to manipulate variances in a "linear" way (which is often a nice way to work algebraically), then work with the covariances instead, and exploit their bilinearity.
źródło
2+PRNG(6)+PRNG(6)
often is how you would toss dice as above and/or notation/conventions such asAnother way of thinking about it is that with random variables2X≠X+X .
źródło