Przekształcanie statystyk zamówień

Załóżmy, że zmienne losowe i są niezależne i przez . Pokaż, że ma dystrybucja . $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Zacząłem ten problem, ustawiając $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ Następnie $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ będzie rozpowszechniany jako $(\frac{z}{a})^{2n}$ a $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ będzie dystrybuowany jako $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ Gęstości można łatwo znaleźć jako $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ i $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

To jest miejsce, w którym trudno mi teraz wiedzieć, gdzie teraz iść, skoro są one obliczone. Myślę, że to ma coś wspólnego z transformacją, ale nie jestem pewien ...

self-study data-transformation order-statistics Susan
źródło

Z pewnością należy dodatkowo założyć, że nie tylko

X_{i}

$X_i$ i

Y_{i}

$Y_i$ id, ale także

X_{i}

$X_i$ są niezależne od

Y_{j}

$Y_j$ . Biorąc to pod uwagę, czy myślałeś o bezpośredniej pracy z

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

whuber

@ gdy moją myślą z twojego komentarza byłoby skonfigurowanie transformacji, w której rozwiązuję gęstość n * log (Z

_{i}

$_i$ )?

Susan,

Zrobiłem trochę formatowania (szczególnie zmieniając i na i ), ale jeśli ci się nie podoba, możesz przywrócić poprzednią wersję (klikając link „edytowano <x> temu” nad moim gravatar na dole Twojego posta), a następnie klikając link „wycofaj” powyżej poprzedniej wersji.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

Glen_b

Susan, wydajesz się źle interpretować / błędnie odczytać pytanie. Pytanie poszukuje stosunku Mianownik odnosi się do : gdzie to statystyka maksymalnego rzędu , a to statystyka maksymalnego rzędu s. Innymi słowy, szuka min (maxX, maxY), NIE minimum wszystkich i , więc nie możesz użyć swojej sztuczki Z spłaszczyć / połączyć wszystkie wartości X i Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

wilki,

W każdym razie, i jako odrębna sprawa, nie ma sensu (jak już to zrobiłeś) obliczanie gęstości , a osobno gęstości , ponieważ statystyki różnych rzędów nie są ogólnie niezależny. Aby znaleźć stosunek , trzeba najpierw znaleźć wspólny plik pdf , jeśli to był problem pod ręką (co nie jest).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

wilki,

Odpowiedzi:

Problem ten można rozwiązać na podstawie samych definicji: jedynym zaawansowanym obliczeniem jest całka monomialu.

Uwagi wstępne

Pracujmy ze zmiennymi i przez cały czas: to nie zmienia ale powoduje iid z rozkładami Uniform , eliminując wszystkie rozpraszające spojrzenia w obliczeniach. Zatem możemy założyć bez utraty ogólności. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Zauważ, że niezależność i ich równomierny rozkład implikuje, że dla dowolnej liczby dla której , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

z identycznym wynikiem dla . W przyszłości możemy to obliczyć $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Rozwiązanie

Niech będzie dodatnią liczbą rzeczywistą. Aby znaleźć rozkład , jego definicję i uprość wynikową nierówność: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Par (\exp (Z_{n} / n) > {mi}^{t / n}) \\ = Par (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > {mi}^{t / n}) \\ = Par ({mi}^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

To zdarzenie dzieli się na dwa możliwe do uzasadnienia przypadki, w zależności od tego, czy czy jest mniejszy z tych dwóch (a ich przecięcie, z zerowym prawdopodobieństwem, można zignorować). Dlatego musimy tylko obliczyć szansę jednego z tych przypadków (powiedzmy, gdzie jest mniejsza) i podwoić ją. Ponieważ , , pozwala nam (po pozwoleniu na odegranie roli od ) do zastosowania obliczeń w trybie paragrafu: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Par (Z_{n} > t) = 2) Par ({mi}^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2) mi [{({mi}^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = {mi}^{- t} mi [2) X_{(n)}^{n}] = {mi}^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

To oznacza, że ma rozkład Exp . $Z_n$ $(1)$

Whuber
źródło

Naszkicuję rozwiązanie tutaj, używając komputerowego systemu algebry, aby wykonać drobiazgi ...

Rozwiązanie

Jeśli jest próbką o rozmiarze na macierzystym , to pdf próbki maksymalnej to: i podobnie dla . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

{fa}_{n} (x) = \frac{n}{{za}^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Podejście 1: Znajdź wspólny plik pdf $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Ponieważ i są niezależne, łączny pdf dwóch maksymalnych próbek jest po prostu iloczynem 2 pdf, powiedzmy : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Biorąc pod uwagę . Zatem cdf dla to to: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

gdzie używam Probfunkcji z pakietu mathStatica dla Mathematica do automatyzacji. Różnicowanie cdf wrt daje pdf jako standardowy wykładniczy. $z$ $Z_n$

Podejście 2: Statystyka zamówień

Możemy użyć statystyki zamówień, aby ominąć mechanikę radzenia sobie z funkcjami Max i Min.

Jeszcze raz: jeśli jest próbką o rozmiarze na macierzystym , to pdf próbki maksymalnej to: powiedzmy : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Przykładowe maksima i to tylko dwa niezależne rysunki z tego rozkładu ; tj. statystyki rzędu i (w próbce o rozmiarze 2) są właśnie tym, czego szukamy: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Łączny plik pdf w próbce o rozmiarze 2, powiedzmy , To: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Biorąc pod uwagę . Zatem cdf dla to to: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Zaletą tego podejścia jest to, że obliczanie prawdopodobieństwa nie obejmuje już funkcji maks./min., Co może sprawić, że wyprowadzenie (szczególnie ręczne) będzie nieco łatwiejsze do wyrażenia.

Inny

Zgodnie z moim komentarzem powyżej wydaje się, że źle zinterpretowałeś pytanie ...

Jesteśmy proszeni o znalezienie:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

gdzie w mianowniku występuje min (Xmax ymax) ... nie obowiązkowych wszystkich „S i ” S. $X$ $Y$

wilki
źródło

Po twoim szkicu rozumiem, jak źle zinterpretowałem pytanie. Rozumiem, jak obliczyć łączny pdf dwóch maksymalnych próbek, ale wciąż nie jestem pewien, jak interpretować stosunek maks./min.

Susan,

Dodałem alternatywne wyprowadzenie za pomocą statystyk zamówień, które „omijają” maks / min.

wilki,

Gdybyś zaczął od dzienników danych, Susan, wtedy spojrzałbyś na różnice w statystykach zamówień, a nie na stosunki .

whuber

Nie jestem przekonany, aby komputerowe obliczenia formalne były najlepszym sposobem wyjaśnienia powodu, dla którego stosunek ten jest losową zmienną Exp (1).

Xi'an,

Dobra uwaga ... oprócz tego, że OP nie pyta o powód ... ale aby pokazać, że jest to Exp [1]. Nie jestem również pewien, czy jest to praca domowa (lub zadanie) ... i to w rzeczywistości jedna miła zaleta korzystania z komputera: ktoś podaje kroki, które należy wykonać, weryfikuje wynik, aby mieć właściwe podejście , ale mechanika wciąż pozostaje w gestii OP. Byłoby miło, gdyby ktoś zapoznał się z sugestią @ Whubera dotyczącą zapisywania dzienników na początku.

wilki,