Czy można stosować analizę głównych składników w odniesieniu do cen akcji / danych niestacjonarnych?

Czytam przykład podany w książce Machine Learning for Hackers . Najpierw rozwinę ten przykład, a następnie omówię moje pytanie.

Przykład :

Pobiera zestaw danych na 10 lat z 25 cenami akcji. Uruchamia PCA w cenie 25 akcji. Porównuje główny składnik z indeksem Dow Jones. Obserwuje bardzo silne podobieństwo między PC a DJI!

Z tego, co rozumiem, przykład bardziej przypomina zabawkę, która pomaga początkującym, takim jak ja, zrozumieć, jak skuteczne jest narzędzie PCA!

Jednak czytając z innego źródła , widzę, że ceny akcji są niestacjonarne, a PCA na cenach akcji jest absurdalne. Źródła, z których czytam, całkowicie wyśmiewają pomysł obliczania kowariancji i PCA dla cen akcji.

Pytania :

1. Jak ten przykład działał tak dobrze? PCA cen akcji i DJI były bardzo blisko siebie. A dane są prawdziwymi danymi z cen akcji z lat 2002-2011.

2. Czy ktoś może wskazać mi jakieś fajne źródło do czytania danych stacjonarnych / niestacjonarnych? Jestem programistą. Mam dobre doświadczenie matematyczne. Ale nie robiłem poważnej matematyki przez 3 lata. Ponownie zacząłem czytać o takich rzeczach, jak przypadkowe spacery itp.

Ten artykuł służy częściowej odpowiedzi na pierwotne pytanie i niektóre pytania postawione w komentarzach do odpowiedzi @ JonEgil.

Zwroty finansowe (logarytmiczne) * wynoszą w przybliżeniu (chociaż często występuje pewna warunkowa heteroskedastyczność) - podczas gdy ceny są w przybliżeniu przypadkowymi spacerami. Przy założeniu I . i . d . obserwacje, główny składnik analiza byłaby bezpośrednio uogólniać z próbki do populacji (czyli przykładowe główne składniki byłyby szacowania populacji główne komponenty), ale to może nie trzymać pod non- I . i . d . obserwacje - zobacz ten wątek$i.i.d.$$i.i.d.$$i.i.d.$. Dlatego sensowne jest uruchamianie PCA w przypadku (logarytmicznych) zwrotów, a nie cen.

$i.i.d.$

$P_t$$r:=\text{log}(P_t)-\text{log}(P_{t-1})=\text{log}\frac{P_t}{P_{t-1}}$$r':=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$$h$$h$

Profesjonalnie prowadzę tego typu analizy i mogę potwierdzić, że rzeczywiście są one przydatne. Pamiętaj jednak o analizowaniu zwrotów, a nie cen. Podkreśla to także krytyka w Slender Means:

To perform PCA, your data have to have a meaningful covariance matrix 
(or correlation matrix, but the conditions are equivalent). They analyze 
stock prices, which are non-stationary time series variables.

Typowym przykładem użycia w naszej analizie jest oszacowanie ryzyka systemowego na rynku. Im więcej współpracy na rynku, tym mniej dywersyfikacji, którą naprawdę masz w swoim portfolio. Można to na przykład określić ilościowo przez wariancję opisaną przez pierwszy główny składnik. Który jest identyczny z wartością pierwszej wartości własnej.

W przypadku danych finansowych zwykle bada się ruchome okno w czasie. Przydatna jest pewna forma czynnika rozpadu, który osłabia starsze obserwacje. Dla danych dziennych, od 20 do 60 dni, dla danych tygodniowych może 1-2 lata, wszystko w zależności od potrzeb.

Należy pamiętać, że w przypadku globalnych rynków finansowych, gdzie dziesiątki lub setki tysięcy cen aktywów stale się zmieniają, jeden typowo nie można uruchomić macierzy kowariancji 100 000 w porównaniu do 100 000. Zamiast tego typowym przypadkiem jest uruchomienie analizy według kraju, sektora lub innych bardziej znaczących grup. Ewentualnie podziel zwrot według zestawu podstawowych czynników (wartość, wielkość, jakość, kredyt ....) i wykonaj na nich analizę PCA / kowariancji.

Niektóre fajne artykuły to dyskusja Attilio Meucciego na temat efektywnej liczby zakładów: http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1358533

, a także Ledoit i Wolf's Honey zmniejszyłem przykładową macierz kowariancji http://www.math.umn.edu/~bemis/MFM/2014/spring/References/lw_shrinkage.pdf

Aby uzyskać finansowe wprowadzenie do stacjonarności, warto zacząć od Investopedia. To nie jest rygorystyczne, ale przekazuje główne pomysły.

Powodzenia!

EDYCJA: Oto 3-akcyjny przykład pokazujący Apple, Google i Dow Jones z codziennymi zwrotami do 2015 roku. Górny trójkąt pokazuje korelację zwrotu, dolny trójkąt pokazuje korelację cen.

Jak widać, Apple ma wyższą korelację cen z Dow (dolny lewy 0,76) niż korelacja zwrotna (górny prawy 0,66). Czego możemy się z tego nauczyć? Niewiele. Google ma ujemną korelację cen zarówno z Apple (-0,28), jak i Dow (-0,27). Ponownie niewiele z tego można się nauczyć. Jednak korelacje zwrotów mówią nam, że zarówno Apple, jak i Google mają dość wysoką korelację z Dow (odpowiednio 0,66 i 0,53). To mówi nam coś o wspólnej zmianie (zmianie ceny) aktywów w portfelu. To przydatna informacja.

Chodzi przede wszystkim o to, że chociaż korelację cen można równie łatwo obliczyć, nie jest to interesujące. Dlaczego? Ponieważ cena akcji nie jest sama w sobie interesująca. Cena zmiana jest jednak bardzo interesujące.