Rozkład stosunku między dwiema niezależnymi jednolitymi zmiennymi losowymi

17

Supppse i są standardowo równomiernie rozmieszczone w i są niezależne, jaki jest plik PDF ? $X$ $Y$ $[0, 1]$ $Z = Y / X$

Odpowiedź z jakiegoś podręcznika teorii prawdopodobieństwa brzmi

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Zastanawiam się, symetrycznie, czy ? W powyższym pliku PDF tak nie jest. $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions co było do okazania
źródło

Jaka jest domena i ?

X

$X$

Y

$Y$

Sobi,

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

kjetil b halvorsen

2

Dlaczego miałbyś oczekiwać, że to prawda? Funkcja gęstości mówi ci, jak ciasno upakowane jest prawdopodobieństwo w sąsiedztwie punktu, i wyraźnie trudniej jest być blisko niż (weź na przykład, że zawsze może wynosić bez względu na jest, ale gdy

).

Z

$Z$

2

$2$

1 / 2

$1/2$

Z

$Z$

1 / 2

$1/2$

X

$X$

Z < 2

$Z < 2$

X > 1 / 2

$X > 1/2$

dsaxton,

2

Możliwy duplikat rozkładu stosunku mundurów: co jest nie tak?

Xi'an

3

Nie sądzę, że to duplikat, to pytanie szuka pliku PDF, tutaj mam plik PDF, po prostu kwestionuję jego poprawność (być może raczej naiwnie).

qed

19

Prawidłowa logika jest taka, że przy niezależnych , i mają taki sam rozkład, a więc dla gdzie równanie z CDF wykorzystuje fakt, że jest ciągłą zmienną losową, a więc . Stąd pdf spełnia Zatem $X, Y \sim U(0,1)$ $Z=\frac YX$ $Z^{-1} =\frac XY$ $0 < z < 1$

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$

\frac{Y}{X}

$\frac YX$

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$ , a nie jak myślałeś, że powinno być.

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

Dilip Sarwate
źródło

14

Ta dystrybucja jest symetryczna - jeśli spojrzysz na nią we właściwy sposób.

Symetria, którą zaobserwowałeś (poprawnie), jest taka, że i muszą być identycznie rozłożone. Pracując ze stosunkami i mocami, naprawdę pracujesz w multiplikatywnej grupie dodatnich liczb rzeczywistych. Analog położenia niezmiennego środka NA addytywnych liczb rzeczywistych jest skala niezmienna środek na przykład multiplikatywna grupa pozytywnej rzeczywistym liczby. Ma te pożądane właściwości: $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ $\mathbb{R}^{*}$

$d\mu$ jest niezmienne w transformacji dla dowolnej dodatniej stałej : $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
$d\mu$ jest kowariantem przy przekształceniu dla liczb niezerowych : $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
$d\mu$ przekształca się w przez wykładniczy: Podobnie jest przekształcana z powrotem do przez logarytm. $d\lambda$
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

(3) ustala izomorfizm między mierzonymi grupami i . Odbicie w przestrzeni addytywnej odpowiada inwersji w przestrzeni multiplikatywnej, ponieważ . $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$

Zastosujmy te obserwacje, pisząc element prawdopodobieństwa w kategoriach (domyślnie rozumiejąc, że ) zamiast : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

Oznacza to, że plik PDF w odniesieniu do niezmiennej miary $d\mu$ jest , proporcjonalny do gdy i do gdy , blisko tego, czego się spodziewałeś. $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

To nie jest jednorazowa sztuczka. Zrozumienie roli sprawia, że wiele formuł wygląda na prostszych i bardziej naturalnych. Na przykład element prawdopodobieństwa funkcji Gamma z parametrem , staje się . Łatwiej jest pracować z niż z podczas przekształcania przez przeskalowanie, przejęcie mocy lub potęgowanie. $d\mu$ $k$ $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

Idea niezmiennej miary w grupie jest również znacznie bardziej ogólna i ma zastosowanie w tej dziedzinie statystyki, w której problemy wykazują pewną niezmienność w grupach transformacji (takich jak zmiany jednostek miar, obroty w wyższych wymiarach itp. ).

Whuber
źródło

3

Wygląda na bardzo wnikliwą odpowiedź. Szkoda, że w tej chwili tego nie rozumiem. Sprawdzę później.

qed

4

Jeśli myślisz geometrycznie ...

W płaszczyźnie - krzywe stałej są liniami przechodzącymi przez początek. ( to nachylenie.) Wartość można odczytać z linii przechodzącej przez początek, znajdując jej przecięcie z linią . (Jeśli kiedykolwiek studiowałeś przestrzeń rzutową: tutaj jest zmienną homogenizującą, więc spojrzenie na wartości na wycinku jest względnie naturalne.) $X$ $Y$ $Z = Y/X$ $Y/X$ $Z$ $X=1$ $X$ $X=1$

Rozważ mały przedział , . Ten przedział można również omówić na linii jako odcinek linii od do . Zbiór linii przechodzących przez początek przechodzących przez ten przedział tworzy bryłę trójkąta w kwadracie , czyli regionem, który naprawdę nas interesuje Jeśli , to obszar trójkąta to , więc utrzymując długość przedziału na stałym poziomie i przesuwając go w górę i w dół linia (ale nie za lub $Z$ $(a,b)$ $X=1$ $(1,a)$ $(1,b)$ $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ $0 \leq a < b \leq 1$ $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ $X=1$ $0$ $1$ ), obszar jest taki sam, więc prawdopodobieństwo wybrania w trójkącie jest stałe, więc prawdopodobieństwo wybrania w przedziale jest stałe. $(X,Y)$ $Z$

Jednak dla granica obszaru odwraca się od linii a trójkąt jest obcinany. Jeśli , rzuty w dół linii przez początek od i do górnej granicy są do punktów i . Powstały obszar trójkąta to . Z tego wynika, że obszar nie jest jednolity, a gdy przesuwamy coraz bardziej w prawo, prawdopodobieństwo wyboru punktu w trójkącie maleje do zera. $b>1$ $U$ $X = 1$ $1 \leq a < b$ $(1,a)$ $(1,b)$ $U$ $(1/a,1)$ $(1/b,1)$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ $(a,b)$

Następnie ta sama algebra pokazana w innych odpowiedziach kończy problem. W szczególności, wracając do ostatniego pytania OP, odpowiada linii, która osiąga , ale nie, więc pożądana symetria nie zachowuje się. $f_Z(1/2)$ $X=1$ $f_Z(2)$

Eric Towers
źródło

3

Dla przypomnienia, moja intuicja była całkowicie błędna. Mówimy o gęstości , a nie o prawdopodobieństwie . Właściwą logiką jest sprawdzenie tego

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ ,

i tak właśnie jest.

co było do okazania
źródło

1

Tak, link Rozkład proporcji mundurów: co jest nie tak? zapewnia CDF . PDF tutaj jest tylko pochodną CDF. Tak więc formuła jest poprawna. Myślę, że twój problem polega na założeniu, że uważasz, że Z jest „symetryczne” wokół 1. Jednak to nie jest prawda. Intuicyjnie Z powinien być rozkładem ukośnym, na przykład warto pomyśleć, kiedy Y jest stałą liczbą między a X jest liczbą bliską 0, a zatem stosunek będzie zbliżony do nieskończoności. Zatem symetria rozkładu nie jest prawdziwa. Mam nadzieję, że ta pomoc trochę. $Z=Y/X$ $(0,1)$

lzstat
źródło

Rozkład stosunku między dwiema niezależnymi jednolitymi zmiennymi losowymi

Odpowiedzi: