Mam dwie funkcje gęstości prawdopodobieństwa rozkładów normalnych:
i
Szukam funkcji gęstości prawdopodobieństwa separacji między i . Myślę, że to oznacza, że szukam funkcji gęstości prawdopodobieństwa | x_1 - x_2 | . Czy to jest poprawne? Jak to znaleźć?x 2 | x 1 - x 2 |
self-study
tagu. Przyjmujemy pytania domowe, ale tutaj traktujemy je nieco inaczej.Odpowiedzi:
Na to pytanie można odpowiedzieć, jak stwierdzono, zakładając, że dwie losowe zmienne i rządzone przez te rozkłady są niezależne.X1 X2 To czyni ich różnicę Normalną ze średnią i wariancją . (Poniższe rozwiązanie można łatwo uogólnić na dowolny dwuwymiarowy Rozkład normalny .) Zatem zmiennaX=X2−X1 μ=μ2−μ1 σ2=σ21+σ22 (X1,X2)
ma standardowy rozkład normalny (tzn. z zerową średnią i wariancją jednostkową) i
Ekspresja
wykazuje różnicę bezwzględną jako skalowaną wersję pierwiastka kwadratowego niecentralnego rozkładu chi-kwadrat z jednym stopniem swobody i parametrem niecentryczności . Niecentralny rozkład chi-kwadrat z tymi parametrami ma element prawdopodobieństwaλ=(μ/σ)2
Zapisanie dla x > 0 ustala zgodność jeden do jednego między y a pierwiastkiem kwadratowym, w wyniku czegoy=x2 x>0 y
Uproszczenie tego, a następnie przeskalowanie o daje pożądaną gęstość,σ
Ten wynik jest poparty symulacjami, takimi jak histogram 100 000 niezależnych losowań (zwany w kodzie „x”) o parametrach μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 . Na nim jest wykreślony wykres f | X | , co dokładnie pokrywa się z wartościami histogramu.|X|=|X2−X1| μ1=−1,μ2=5,σ1=4,σ2=1 f|X|
Poniżej przedstawiono
R
kod tej symulacji.źródło
Podaję odpowiedź, która jest komplementarna do odpowiedzi udzielonej przez @whuber w tym sensie, że może to napisać niestatystyk (tj. Ktoś, kto niewiele wie o niecentralnych rozkładach chi-kwadrat z jednym stopniem swobody itp.), i że neofita może podążać stosunkowo łatwo.
Pożyczając założenie niezależności, a także notację z odpowiedzi Whubera , gdzie μ = μ 1 - μ 2 i σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 . Zatem dla x ≥ 0 , F | Z | ( x )Z=X1−X2∼N(μ,σ2) μ=μ1−μ2 σ2=σ21+σ22 x≥0
oraz, oczywiście,C | Z | (x)=0dlax<0. Wynika to po rozróżnieniu względemx,że
f | Z | ( x )
źródło
The distribution of a difference of two normally distributed variates X and Y is also a normal distribution, assuming X and Y are independent (thanks Mark for the comment). Here is a derivation: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html
Here you are asking the absolute difference, based on whuber's answer and if we assume the difference in mean of X and Y is zero, it's just a half normal distribution with two times the density (thanks Dilip for the comment).
źródło