Czy twierdzenie Słuckiego jest nadal aktualne, gdy obie sekwencje zbiegają się w nie-zdegenerowanej zmiennej losowej?

12

Jestem zdezorientowany niektórymi szczegółami na temat twierdzenia Słuckiego :

Niech , będą dwiema sekwencjami losowych elementów skalarnych / wektorowych / macierzowych.{ Y n }{Xn}{Yn}

Jeśli zbiega się w rozkładzie do losowego elementu a zbiega się w prawdopodobieństwie do stałej , to pod warunkiem, że c jest odwracalne, gdzie d oznacza zbieżność w dystrybucji. X Y n c X n + Y n d X + c X n Y n d c X X n / Y n d X / c ,XnXYndo

Xn+Yn re X+doXnYn re doXXn/Yn re X/do,
dore

Jeśli obie sekwencje w twierdzeniu Słuckiego oba zbiegną się w nie-zdegenerowaną zmienną losową, to czy twierdzenie to jest nadal aktualne, a jeśli nie (czy ktoś mógłby podać przykład?), Jakie są dodatkowe warunki, aby uczynić je prawidłowym?

Nicolas H.
źródło

Odpowiedzi:

15

Twierdzenie Słuckiego nie obejmuje dwóch sekwencji zbieżnych w rozkładach do zmiennej losowej. Jeżeli zbiega się w dystrybucji na Y , X, n + Y, n może również nie zbiegać lub mogą zbiegać się na coś innego niż X + Y .YnYXn+YnX+Y

Na przykład, jeśli dla n „s X n + Y n nie zbiegają się różnicę dwóch dzieci jest z tego samego rozkładu jak X .Yn=-XnnXn+YnX

Innym kontrprzykładem jest to, że gdy sekwencje i { Y n } są niezależne i oba są zbieżne w rozkładzie do normalnej zmiennej N ( 0 , 1 ) , jeśli definiuje się X 1N ( 0 , 1 ) i X 2 = - X 1 , a następnie X n d X 1 Y n d X 2 X{Xn}{Yn}N.(0,1)X1N.(0,1)X2)=-X1 Zobaczodpowiedź Davide,aby uzyskać więcej informacji na temat tego przykładu.

Xn re X1Yn re X2)Xn+Yn re X1+X2)=0
Xi'an
źródło
2
Aby się rozszerzyć, potrzebujesz czegoś więcej, na przykład niezależności.
kjetil b halvorsen
Czy mam rację, myśląc, że jeśli zamiast tego obie sekwencje zbiegną się w stałą, Slutsky TAK nadal ma zastosowanie, ponieważ stała jest szczególnym (zdegenerowanym) przypadkiem RV?
półfinał
1
@ Half-pass: jest to poprawne.
Xi'an
4

(X0,Y0)(1ρρ1)|ρ|1Xn: =X0Yn: =Y0n1XnXYnYXYXn+Yn2)+2)ρX+YXn+YnX+Y

XnXYnYX+YXn+YnX+Y

(Xn,Yn)(X,Y)XnYnXY(Xn+Yn)n1εRłyknP.{|Xn+Yn|>R}<ε(nk)k1(Xnk+Ynk)k1Z

(Xn)n1(Yn)n1σ[0,2)](nk)k1(Xnk+Ynk)k1N.(0,σ2))

(rjot)[-1,1]τ:N.N.2)nτ-1({jot})×N.(Xn,Yn)(1rjotrjot1)σ

Davide Giraudo
źródło