Dlaczego rozkład Poissona jest wybrany do modelowania procesów przybycia w problemach teorii kolejkowania?

15

Gdy weźmiemy pod uwagę scenariusze teorii kolejkowania, w których poszczególne osoby przybywają do obsługującego węzła i ustawiają się w kolejce, zwykle do modelowania czasów przybycia stosuje się proces Poissona. Te scenariusze pojawiają się w przypadku problemów z routingiem sieciowym. Doceniłbym intuicyjne wyjaśnienie, dlaczego proces Poissona najlepiej nadaje się do modelowania przyjazdów.

Vighnesh
źródło

Odpowiedzi:

15

Proces Poissona obejmuje „bez pamięci” czas oczekiwania do przybycia następnego klienta. Załóżmy, że średni czas od jednego klienta do drugiego wynosi . Bez pamięci ciągły rozkład prawdopodobieństwa do następnego przybycia to taki, w którym prawdopodobieństwo oczekiwania na kolejną minutę, sekundę lub godzinę itp., Do następnego przybycia, nie zależy od tego, jak długo czekałeś od ostatniego . To, że odczekałeś już pięć minut od ostatniego przybycia, nie zwiększa prawdopodobieństwa przybycia klienta w następnej minucie, niż gdybyś czekał tylko 10 sekund od ostatniego przybycia.θ

To automatycznie implikuje, że czas oczekiwania do następnego przybycia spełnia Pr ( T > t ) = e - t / θ , tzn. Jest to rozkład wykładniczy.TPr(T>t)=et/θ

A to z kolei można wykazać, że liczba klientów przybywających w dowolnym przedziale czasu t spełnia Pr ( X = x ) = e - t / θ ( t / θ ) xXt, tj. ma rozkład Poissona z wartością oczekiwanąt/θ. Ponadto oznacza to, że liczba klientów przybywających w nie nakładających się przedziałach czasowych jest probabilistycznie niezależna.Pr(X=x)=et/θ(t/θ)xx!t/θ

Zatem brak pamięci czasów oczekiwania prowadzi do procesu Poissona.

Michael Hardy
źródło
Cokolwiek twierdzą te twierdzenia, jest eksperymentalnym faktem, że - w normalnych sytuacjach - przybysze są bez pamięci. Nie można udowodnić, że liczba klientów przybywających w pewnym okresie nic, naprawdę.
Celem tego pytania nie było żądanie formalnego dowodu. Wiele razy dokonuje się obserwacji, które prowadzą do twierdzenia, a następnie „rozwija się” intuicja, aby dopasować się do obserwacji, a tym samym pomóc utrwalić twierdzenie w powszechnym rozumieniu. Szukałem czegoś podobnego. Zredagowałem moje pytanie, aby uwzględnić to samo.
Vighnesh,
Dziękuję za odpowiedź. Nie nadążam jak pamięci mniej przyloty prowadzi do . Czy mógłbyś opracować lub zacytować odniesienie, które szczegółowo o tym mówi. Dzięki. Pr(T>t)=et/θ
Vighnesh
4
Bez pamięci mówi . To samo co Pr ( T > t + s  i  T > t ) = Pr ( T > s ) . Zdarzenie [ T > t + s  oraz  T > t ] jest takie samo jak zdarzenie T >Pr(T>t+sT>t)=Pr(T>s)Pr(T>t+s and T>t)=Pr(T>s)[T>t+s and T>t] . Stąd prawdopodobieństwo warunkowe wynosi Pr ( T > t + s ) / Pr ( T > t ) . Bez pamięci mówi, że jest to to samo co Pr ( T > s ) . Stąd mamy Pr ( T > t + s ) = Pr ( T > t ) Pr ( T > s ) . Funkcja monotoniczna g, która spełniaT>t+sPr(T>t+s)/Pr(T>t)Pr(T>s)Pr(T>t+s)=Pr(T>t)Pr(T>s)g jest funkcją wykładniczą. A monototyczność wynika z faktu, że Pr ( T > t + s ) musi być mniejsza niż Pr ( T > t ), ponieważ pierwsze zdarzenie implikuje, ale nie jest implikowane przez drugie. g(t+s)=g(t)g(s)Pr(T>t+s)Pr(T>t)
Michael Hardy,
Czy nie powinno to być ? Pr(T>t)=1/θet/θ
vonjd
4

Omówi to prawie każde wprowadzenie do teorii kolejkowania lub książki o procesach stochastycznych, np. Ross, Procesy Stochastyczne lub Kleinrock, Teoria kolejkowania.

Na zarys dowodu, że przybywające bez pamięci przyjazdy prowadzą do wykładniczej różnicy:

Niech G (x) = P (X> x) = 1 - F (x). Teraz, jeśli dystrybucja jest bez pamięci,

G (s + t) = G (s) G (t)

tj. prawdopodobieństwo, że x> s + t = prawdopodobieństwo, że jest większe niż s, i że teraz, gdy jest większe niż s, jest większe niż (s + t). Właściwość bez pamięci oznacza, że ​​drugie prawdopodobieństwo (warunkowe) jest równe prawdopodobieństwu, że inny rv o tym samym rozkładzie> t.

Cytując Rossa:

„Jedyne rozwiązania powyższego równania, które spełniają dowolne uzasadnione warunki (takie jak monotoniczność, ciągłość prawa lub lewa, a nawet mierzalność), mają postać:”

G (x) = exp (-ax) dla pewnej odpowiedniej wartości a.

i jesteśmy w rozkładzie wykładniczym.

łucznik
źródło
3
PROJEKT PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH: TEORIA ZASTOSOWAŃ Roberta Gallagera ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) jest dobrą bezpłatną alternatywą dla wprowadzenia do procesów stochastycznych, w tym dyskusji na temat procesu Poissona
Martin Van der Linden,
Robert Gallager's RAFT OF STOCHASTIC PROCESSES: TEORIA DO ZASTOSOWAŃ
Martin Van der Linden,