W komentarzach po tej mojej odpowiedzi na powiązane pytanie Użytkownicy ssdecontrol i Glen_b zapytali, czy wspólna normalność i Y jest konieczna do zapewnienia normalności sumy X + Y ? Ta wspólna normalność jest wystarczająca, jest oczywiście dobrze znana. To dodatkowe pytanie nie zostało tam poruszone i być może jest warte rozważenia samo w sobie.
Ponieważ wspólna normalność oznacza normalność marginalną, pytam
Czy istnieją normalne losowe zmienne i takie, że jest normalną zmienną losową, ale i Y nie są wspólnie normalnymi zmiennymi losowymi?
Jeśli i nie muszą mieć rozkładów normalnych, łatwo jest znaleźć takie normalne zmienne losowe. Jeden przykład można znaleźć w mojej poprzedniej odpowiedzi (link podano powyżej). Uważam, że odpowiedź na wyżej zaznaczone pytanie brzmi „Tak” i podam (jak sądzę) przykład jako odpowiedź na to pytanie.
Odpowiedzi:
Niech będzie równe .U,V N(0,1)
Teraz przekształcamy w następujący sposób:(U,V)→(X,Y)
W pierwszym kwadrancie (tj. ) niech i .U>0,V>0 X=max(U,V) Y=min(U,V)
W przypadku innych ćwiartek obróć to odwzorowanie na temat początku.
Wynikowy rozkład dwuwymiarowy wygląda (patrząc z góry):
- kolor fioletowy reprezentuje regiony z podwójnym prawdopodobieństwem, a regiony białe to regiony bez prawdopodobieństwa. Czarne kółka są konturami o stałej gęstości (wszędzie na kole dla , ale w obrębie każdego kolorowego obszaru dla ).(U,V) (X,Y)
Dzięki symetrii zarówno jak i są normalnie normalne (patrząc w dół na linię pionową lub wzdłuż linii poziomej jest fioletowy punkt dla każdego białego, który możemy uznać za odwrócony w poprzek osi, w której linia pozioma lub pionowa przecina się)X Y
ale wyraźnie nie są dwuwymiarowe normalne, i(X,Y)
źródło
Rozważ wspólnie ciągłe zmienne losowe z funkcją gęstości stawu gdzie oznacza standardową funkcję normalnej gęstości.U,V,W
Oczywiste jest, że i są zależnymi zmiennymi losowymi. Oczywiste jest również, że nie są to wspólnie normalne zmienne losowe. Jednak wszystkie trzy pary są parami niezależnymi zmiennymi losowymi: w rzeczywistości niezależnymi standardowymi zmiennymi losowymi (a zatem parami normalnie zmiennych losowych). Krótko mówiąc, są przykładem niezależnych parami, ale nie niezależnych od siebie normalnych zmiennych losowych. Zobacz moją odpowiedź, aby uzyskać więcej informacji.U,V W (U,V),(U,W),(V,W) U,V,W
Zauważ, że niezależność parami daje nam, że i są zerowymi średnimi normalnymi zmiennymi losowymi z wariancją . Teraz zdefiniujmy i zauważmy, że jest również zerową średnią normalną zmienną losową o wariancji . Ponadto , więc i są zależnymi i skorelowanymi zmiennymi losowymi.U+V,U+W V−W 2
Innymi słowy, wspólny normalność jest wystarczającym warunkiem dochodzenia do normalności suma normalnych zmiennych losowych, ale to nie warunek konieczny.
Dowód, że i nie są wspólnie normalneX Y (U,V,W)→(U+W,V−W,W)=(X,Y,W) fX,Y,W(x,y,w)=fU,V,W(x−w,y+w,w)
Ponieważ transformacja jest liniowa, łatwo jest uzyskać . Dlatego mamy Ale ma właściwość polegającą na tym, że jego wartość jest różna od zera tylko wtedy, gdy dokładnie jeden lub wszystkie trzy jego argumenty są nieujemne. Załóżmy teraz, że . Następnie ma wartość dla
Komentarz: Łączna normalność i wystarcza do normalności ale oznacza również znacznie więcej: jest normalne dla wszystkich wyborów . Tutaj potrzebujemy aby było normalne tylko dla trzech wyborów , mianowicie, gdzie pierwsze dwa wymuszają często ignorowane warunek (patrz np. odpowiedź ), że (marginalne) gęstości i muszą być normalnymi gęstościami, a trzeci mówi, że suma musi mieć również normalną gęstość. Tak więc, możnaX Y X+Y aX+bY (a,b) aX+bY (a,b) (1,0),(0,1),(1,1) Y.H. X Y mają normalne zmienne losowe, które nie są
wspólnie normalne, ale których suma jest normalna, ponieważ nie obchodzi nas, co stanie się z innymi wyborami .(a,b)
źródło