Ciągle czytam w czasopismach ekonomicznych o konkretnym wyniku stosowanym w losowych modelach użytkowych. Jedna wersja wyniku to: jeśli Gumbel ( , to:
gdzie jest stałą Eulera-Mascheroniego. Sprawdziłem, czy ma to sens przy użyciu R i tak jest. CDF dla dystrybucji Gumbela to:
Próbuję znaleźć na to dowód i nie odniosłem sukcesu. Próbowałem to udowodnić sam, ale nie mogę przejść obok określonego kroku.
Czy ktoś może wskazać mi na to dowód? Jeśli nie, może uda mi się wysłać próbę do miejsca, w którym utknąłem.
expected-value
gumbel
Jason
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Doceniam pracę pokazaną w twojej odpowiedzi: dziękuję za ten wkład. Celem tego postu jest zapewnienie prostszej demonstracji. Wartością prostoty jest objawienie: możemy z łatwością uzyskać cały rozkład maksimum, a nie tylko jego oczekiwania.
Zignoruj , wchłaniając go do i zakładając, że mają rozkład . (Oznacza to, że zamień każdy na i zmień na .) To nie zmienia losowej zmiennejμ δi ϵi (0,1) ϵi ϵi−μ δi δi+μ
Niezależność oznacza dla wszystkich rzeczywistych że jest iloczynem indywidualnych szans . Zapisywanie logów i stosowanie podstawowych właściwości wykładniczych dajeϵi x Pr(X≤x) Pr(δi+ϵi≤x)
To jest logarytm CDF rozkładu Gumbela z parametrem lokalizacji To jest,λ=log∑ieδi.
To o wiele więcej informacji niż wymagane. Średnią takiego rozkładu jest pociągające za sobąγ+λ,
CO BYŁO DO OKAZANIA.
źródło
Okazuje się, że Econometrica artykuł Kenneth Małych i Harvey Rosen pokazał to w 1981 roku, ale w bardzo specyficzny kontekst więc wynik wymaga dużo kopania, nie wspominając niektóre szkolenia w dziedzinie ekonomii. Postanowiłem to udowodnić w sposób, który uważam za bardziej dostępny.
Dowód : Niech będzie liczbą alternatyw. W zależności od wartości wektora , funkcja przyjmuje różne wartości. Najpierw skup się na wartościach takich jak . Oznacza to, że zintegrujemy z zestawem :J ϵ={ϵ1,...,ϵJ} maxi(δi+ϵi) ϵ maxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1 δ1+ϵ1 M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Powyższy termin jest pierwszym z takich terminów w . Konkretnie,J E[maxi(δi+ϵi)]
Teraz stosujemy funkcjonalną formę rozkładu Gumbela. To daje
gdzie drugi krok polega na zebraniu jednego z wyrażeń potęgowanych do produktu, wraz z faktem, że jeśli .δj−δi=0 i=j
Teraz zdefiniujemy i podstawienia , aby i . Zauważ, że gdy zbliża się do nieskończoności, zbliża się do 0, a gdy zbliża się do nieskończoności, zbliża się do nieskończoności.Di≡∑jeδj−δi x=Dieμ−ϵi dx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵi ϵi=μ−log(xDi) ϵi x ϵi x
Funkcja Gamma jest zdefiniowana jako . Dla wartości które są dodatnimi liczbami całkowitymi, jest to równoważne, więc . Ponadto wiadomo, że stała Eulera – Mascheroniego, spełniaΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdx t Γ(t)=(t−1)! Γ(1)=0!=1 γ≈0.57722
Zastosowanie tych faktów daje
Następnie sumujemy ponad aby uzyskaći
Przypomnij sobie, że . Zauważ, że znane prawdopodobieństwa wyboru są odwrotnością , lub innymi słowy . Zauważ też, że . Następnie mamyDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδi Pi=eδi∑jδj Di Pi=1/Di ∑iPi=1
źródło