Rozkład odwrotności współczynnika regresji

9

Załóżmy, że mamy model liniowy który spełnia wszystkie założenia regresji standardowej (Gaussa-Markowa). Interesuje nas .yi=β0+β1xi+ϵiθ=1/β1

Pytanie 1: Jakie założenia są konieczne, aby rozkład był dobrze zdefiniowany? byłoby ważne --- jakieś inne?θ^β10

Pytanie 2: Dodaj założenie, że błędy mają rozkład normalny. Wiemy, że jeśli jest MLE, a jest funkcją monotoniczną, to jest MLE dla . Czy monotoniczność jest konieczna tylko w sąsiedztwie ? Innymi słowy, czy jest MLE? Twierdzenie o ciągłym odwzorowaniu mówi nam przynajmniej, że ten parametr jest spójny.β^1g()g(β^1)g(β1)β1θ^=1/β^

Pytanie 3: Czy zarówno metoda Delta, jak i bootstrap są odpowiednimi środkami do znalezienia rozkładu ?θ^

Pytanie 4: Jak zmieniają się te odpowiedzi dla parametru ?γ=β0/β1

Odkładając: problemu, aby dać aby bezpośrednio oszacować parametry. Wydaje mi się, że to nie działa, ponieważ założenia Gaussa-Markowa nie mają już sensu; nie możemy na przykład rozmawiać o . Czy ta interpretacja jest poprawna?

xi=β0β1+1β1yi+1β1ϵi=γ+θyi+1β1ϵi
E[ϵy]
Charlie
źródło
Czy „standardowe” założenia obejmują normalność czy nie? ϵi
whuber
Słuszna uwaga; Dodałem to założenie do części dotyczącej MLE. Jednak nie powinno to być konieczne dla innych.
Charlie,
1
Rozkład próbkowania jest normalny, rozkład jest odwrotnością normalnej. Jest to bimodalny z rozbieżnym (nieskończonym) środkiem, bez względu na to, może być , i jest nieskończenie płaski przy 0. Metoda Delta będzie zatem okropna, zwykłe asymptotyczne przybliżenia MLE będą złe, a nawet bootstrap może być podejrzany. β1θβ1
whuber
@whuber, czy możesz to rozwinąć? Moja intuicja nie rozumie, jak odwrotność normalności powinna być bimodalna; zgaduję, że cała masa byłaby na odwrotności średniej wartości normalnej (tutaj ). Martwiłem się o nieskończoną średnią możliwość ze względu na masę bliską zera. Pasek startowy i asymptotyczne wyniki wymagają istnienia oszacowanych momentów, więc na tym ostatecznie opiera się to pytanie. 1/β^1
Charlie,
1
Plik PDF odwrotnej wartości normalnej to . Przy 0 wszystkie instrumenty pochodne są równe 0; znalezienie krytycznych punktów jego logarytmu identyfikuje tryb dodatni i ujemny (łatwy do obliczenia w kategoriach i ); całkarozbiega się jak całka z. Problem z nieskończonymi pierwszymi momentami wiąże się z odwrotnością dowolnej zmiennej losowej o dodatniej gęstości prawdopodobieństwa przy 0, która obejmuje wszystkie normalne. exp((1/xμ)2/(2σ2))/(2πx2σ)dxσμ/σ|x||x|/x2=1/|x|
whuber

Odpowiedzi:

3

Pytanie 1 Jeśli jest MLE z , to jest MLE z a jest warunkiem wystarczającym do zdefiniowania tego estymatora.β^1β1θ^θβ10

Q2 jest MLE z według właściwości niezmienniczości MLE. Ponadto nie potrzebujesz monotoniczności jeśli nie musisz uzyskać jej odwrotności. W każdym punkcie wystarczy tylko . Możesz to sprawdzić w Twierdzeniu 7.2.1 pp. 350 „Prawdopodobieństwa i wnioskowania statystycznego” Nitza Mukhopadhyaya.θ^=1/β^θgg

Pytanie 3 Tak, możesz użyć obu metod, sprawdziłbym również prawdopodobieństwo profilu .θ

Pytanie 4 Tutaj możesz ponownie sparametryzować model pod względem interesujących parametrów . Na przykład MLE dla to i możesz obliczyć prawdopodobieństwo profilu tego parametru lub jego rozkład ładowania w zwykły sposób.(θ,γ)γγ^=β^0/β^1

Podane przez ciebie podejście jest nieprawidłowe, rozważasz „model kalibracji”, który możesz sprawdzić w literaturze. Jedyne, czego potrzebujesz, to zmiana parametrów pod względem interesujących parametrów.

Mam nadzieję, że to pomoże.

Z poważaniem.

XMX
źródło
3
Dzięki za odpowiedzi. Nie mam książki, którą cytujesz, ale często te właściwości wymagają istnienia szacowanych momentów. Nie jestem pewien, czy odwrotność normy ma odpowiednie momenty. Powinienem był wyjaśnić tę kwestię w moim pytaniu.
Charlie,