Dlaczego potrzebujemy sigma-algebr do definiowania przestrzeni prawdopodobieństwa?

122

Mamy losowy eksperyment z różnymi wynikami tworzących próbkę kosmicznego Ω, na które patrzymy z zainteresowaniem w niektórych wzorów, zwany wydarzenia F. Algebry Sigma (lub pola sigma) składają się ze zdarzeń, do których można przypisać miarę prawdopodobieństwa PPewne właściwości są spełnione, w tym włączenie zbioru zerowego i całej przestrzeni próbki oraz algebry, która opisuje związki i przecięcia ze schematami Venna.

Prawdopodobieństwo jest zdefiniowane jako funkcja między σ -algebrą a przedziałem [0,1] . W sumie potrójna (Ω,F,P) tworzy przestrzeń prawdopodobieństwa .

Czy ktoś mógłby wyjaśnić prostym językiem, dlaczego gmach prawdopodobieństwa zawaliłby się, gdybyśmy nie mieli algebry σ ? Są po prostu klinowane w środku z niemożliwie kaligraficznym „F”. Ufam, że są konieczne; Widzę, że wydarzenie różni się od wyniku, ale co by się nie udało bez σ -algebr?

Pytanie brzmi: w jakiego rodzaju problemach prawdopodobieństwa definicja przestrzeni prawdopodobieństwa zawierającej σ staje się koniecznością?


Ten dokument online na stronie internetowej Dartmouth University zawiera proste wyjaśnienie w języku angielskim. Chodzi o obracający się wskaźnik obracający się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na okręgu o obwodzie jednostkowym :

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Zaczynamy od zbudowania przędzarki, która składa się z koła o obwodzie jednostkowym i wskaźnika, jak pokazano na rycinie. Wybieramy punkt na okręgu i oznaczamy go jako 0 , a następnie oznaczamy każdy inny punkt na okręgu odległością, powiedzmy x , od 0 do tego punktu, mierzoną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Eksperyment polega na obróceniu wskaźnika i zarejestrowaniu etykiety punktu na końcu wskaźnika. Pozwalamy losowej zmiennej X oznaczać wartość tego wyniku. Przestrzeń próbki jest wyraźnie interwałem [0,1). Chcielibyśmy zbudować model prawdopodobieństwa, w którym każdy wynik będzie równie prawdopodobne. Jeśli postępujemy tak, jak [...] w przypadku eksperymentów ze skończoną liczbą możliwych wyników, musimy przypisać prawdopodobieństwo 0 każdemu wynikowi, ponieważ w przeciwnym razie suma prawdopodobieństw dla wszystkich możliwych wyników nie byłaby równa się 1. (W rzeczywistości sumowanie niepoliczalnej liczby liczb rzeczywistych jest trudną sprawą; w szczególności, aby taka suma miała jakiekolwiek znaczenie, co najwyżej licznie wiele sum może być różna od 0 ). Jednak jeśli wszystkie przypisane prawdopodobieństwa wynoszą 0 , a następnie suma wynosi 0 , a nie 1 , jak powinno być.

Jeśli więc przypiszemy każdemu punktowi jakiekolwiek prawdopodobieństwo i biorąc pod uwagę, że istnieje (niepoliczalnie) liczba nieskończoności, ich suma będzie sumować się do >1 .

Antoni Parellada
źródło
9
Samobójstwo wydaje się pytaniem o pola , które nie wspominają teorii miary! σ
Xi'an
5
Rozumiem jednak ... Nie jestem pewien, czy rozumiem twój komentarz.
Antoni Parellada
8
Z pewnością potrzeba pól sigma nie jest tylko kwestią opinii ... Myślę, że można to rozpatrzyć tutaj na temat (moim zdaniem).
gung
8
Jeśli twoja potrzeba teorii prawdopodobieństwa jest ograniczona do „głów” i „ogonów”, to oczywiście nie ma potrzeby pól ! σ
Xi'an
26
(Ω,F,P)

Odpowiedzi:

124

σ

Teoria prawdopodobieństwa dopuszczenia wszystkich podzbiorów zbiorów niepoliczalnych złamie matematykę

R2

Ale co, jeśli obszar zestawu zainteresowań nie jest dobrze zdefiniowany?

P(A)=1P(A)=00=15<0

σ

σFσ

σσ

  1. Zamknięcie w ramach policzalnych związków.
  2. Zamknięcie pod licznymi skrzyżowaniami.
  3. Zamknięcie pod uzupełnienia.

P(A)=2/3P(Ac)1/3P(Ac)P(AAc)=P(A)+1P(A)=1

ΩΩF

σ

σF=2ΩΩΩ2Ω

RnσLnLnn=1,2,3to samo wydarzenie na podstawie innego dowodu.

σ

F=All subsets of the unit square with defined L2 measure.
Bss(0,1)(0,0)FB

W praktyce więc po prostu dokonanie tej obserwacji często wystarcza, aby stwierdzić, że rozważa się jedynie zestawy mierzalne Lebesgue'a, aby uzyskać postęp w stosunku do problemu zainteresowania.

Ale czekaj, co to jest zestaw niewymierny?

Obawiam się, że sam mogę rzucić na to trochę światła. Ale paradoks Banacha-Tarskiego (czasem paradoks „słońce i groszek”) może nam pomóc:

Biorąc pod uwagę solidną kulę w przestrzeni trójwymiarowej, istnieje rozkład kuli na skończoną liczbę rozłącznych podzbiorów, które można następnie złożyć w inny sposób, aby uzyskać dwie identyczne kopie oryginalnej kulki. Rzeczywiście, proces ponownego montażu obejmuje jedynie przesuwanie elementów i ich obracanie, bez zmiany ich kształtu. Jednak same kawałki nie są „ciałami stałymi” w zwykłym znaczeniu, ale nieskończonym rozproszeniem punktów. Rekonstrukcja może pracować z zaledwie pięcioma częściami.

Silniejsza forma twierdzenia implikuje, że biorąc pod uwagę dowolne dwa „rozsądne” obiekty stałe (takie jak mała kula i ogromna kula), jedno z nich można ponownie złożyć w drugie. Często określa się to nieformalnie jako „groszek można posiekać i ponownie złożyć w Słońce” i nazwać „paradoksem grochu i Słońca”. 1

R3SΩSV(S)>V(Ω)P(S)>1

Aby rozwiązać ten paradoks, można dokonać jednej z czterech ustępstw:

  1. Głośność zestawu może ulec zmianie po jego obróceniu.
  2. Objętość połączenia dwóch rozłącznych zbiorów może różnić się od sumy ich objętości.
  3. Aksjomaty teorii Zermelo – Fraenkela z aksjomatem wyboru (ZFC) mogą wymagać zmiany.
  4. Niektóre zestawy mogą być oznaczone jako „niewymierne”, a przed mówieniem o jego objętości należałoby sprawdzić, czy zbiór jest „mierzalny”.

σ

Sycorax
źródło
5
L
7
σ
2
@ Xi'an Dzięki za miłe słowa! To naprawdę wiele znaczy od ciebie. W chwili pisania tego tekstu nie znałem paradoksu Borela-Kołmogorowa, ale poczytam trochę i zobaczę, czy uda mi się zrobić użyteczne uzupełnienie moich odkryć.
Sycorax
3
@ Student001: Myślę, że dzielimy tutaj włosy. Masz rację, że ogólna definicja „miary” (dowolnej miary) została podana przy użyciu pojęcia sigma-algeb. Chodzi mi jednak o to, że w definicji miary Lebesgue'a podanej w moim pierwszym łączu nie ma słowa ani pojęcia „sigma-algebra”. Innymi słowy, można zdefiniować miarę Lebesgue'a według mojego pierwszego linku, ale potem trzeba pokazać, że jest to miara i to jest trudna część. Zgadzam się, że powinniśmy jednak zakończyć tę dyskusję.
ameba
3
Naprawdę podobało mi się czytanie twojej odpowiedzi. Nie wiem, jak ci dziękować, ale wiele wyjaśniłeś! Nigdy nie studiowałem prawdziwej analizy ani nie miałem odpowiedniego wstępu do matematyki. Wywodzi się z inżynierii elektrycznej, która bardzo koncentrowała się na praktycznej realizacji. Napisałeś to w tak prostych słowach, że facet taki jak ja mógł to zrozumieć. Naprawdę doceniam twoją odpowiedź i twoją prostotę. Dziękujemy również @ Xi'anowi za jego spakowane komentarze!
Zushauque
19

[0,18),[18,25),[25,34),(Ω,F)F[18,25)[20,30)[20,30)F

(Ω,F)f:f1(1)Ff

FFABABAB. Teraz wymaganie zamknięcia dla policzalnych skrzyżowań i związków pozwala nam zadawać policzalne koniunkcje lub rozłączenia. Negowanie pytania reprezentuje zestaw uzupełniający. To daje nam sigma-algebrę.

Tego rodzaju wprowadzenie zobaczyłem najpierw w bardzo dobrej książce Petera Whittle'a „Prawdopodobieństwo przez oczekiwanie” (Springer).

EDYTOWAĆ

iiσσnσnσ

Ale czy naprawdę potrzebujemy silnego prawa wielkich liczb? Według jednej odpowiedzi tutaj , może nie.

nn

σ

kjetil b halvorsen
źródło
4
σP(A)[20,30)P(A)[20,30)P(A)[18,34)dobrze zdefiniowane, więc nie jest nawet jasne, że ten przykład ilustruje, czego chcesz.
Sycorax
5
σσ
2
σ
3
Myślę, że twój argument jest słuszny. Na koniec byłem trochę zaskoczony, gdy spotkałem się z tym stwierdzeniem: „wymaganie zamknięcia dla policzalnych skrzyżowań i związków pozwala nam zadawać policzalne połączenia lub rozłączenia”. To wydaje się być sednem problemu: dlaczego ktoś miałby chcieć skonstruować tak nieskończenie skomplikowane wydarzenie? Dobra odpowiedź na to pytanie sprawi, że reszta Twojego posta będzie bardziej przekonująca.
whuber
2
Ponowne zastosowania praktyczne: teoria prawdopodobieństwa i miary stosowana w matematyce finansów (w tym stochastyczne równania różniczkowe, całki Ito, filtracje algebrów itp.) Wydaje się niemożliwa bez algebr sigma. (Nie mogę głosować za poprawkami, ponieważ głosowałem już na twoją odpowiedź!)
whuber
1

σ

σAB(AB)C

Pierwszy aksjomat jest taki, że ∅, 𝑋∈𝜎. Cóż, ZAWSZE znasz prawdopodobieństwo, że nic się nie wydarzy (0) lub coś się wydarzy (1).

Drugi aksjomat jest zamknięty pod uzupełnieniami. Pozwól, że dam głupi przykład. Ponownie rozważ rzut monetą z 𝑋 = {𝐻, 𝑇}. Udawaj, że mówię ci, że algebra 𝜎 dla tego flipa to {∅, 𝑋, {𝐻}}. To znaczy wiem o prawdopodobieństwie NIC, Coś się wydarzy i głowy, ale NIE wiem o prawdopodobieństwie ogona. Słusznie nazwałbyś mnie kretynem. Ponieważ jeśli znasz prawdopodobieństwo głów, automatycznie znasz prawdopodobieństwo ogonów! Jeśli znasz prawdopodobieństwo, że coś się wydarzy, wiesz, że to się NIE dzieje (uzupełnienie)!

Ostatni aksjomat jest zamknięty w policzalnych związkach. Dam ci kolejny głupi przykład. Rozważ rzut kości lub 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}. Co jeśli miałbym ci powiedzieć, że algebra for to {∅, 𝑋, {1}, {2}}. Znaczy to, że znam prawdopodobieństwo rzutu 1 lub 2, ale nie znam prawdopodobieństwa wyrzucenia 1 lub 2. Znowu słusznie nazwałbyś mnie idiotą (mam nadzieję, że powód jest jasny). To, co dzieje się, gdy zestawy nie są rozłączne, a to, co dzieje się z niezliczonymi związkami, jest trochę nieporządne, ale mam nadzieję, że możesz spróbować wymyślić kilka przykładów.

σ

Cóż, nie jest to całkowicie czysta obudowa, ale istnieje kilka solidnych powodów .

Dlaczego probabiliści potrzebują środków?

σσP

Ludzie przynoszą zestaw Vitali i Banach-Tarskiego, aby wyjaśnić, dlaczego potrzebujesz teorii miary, ale myślę, że to jest mylące . Zbiór Vitali odchodzi tylko dla (nietrywialnych) miar, które są niezmienne w tłumaczeniu, których przestrzenie prawdopodobieństwa nie wymagają. A Banach-Tarski wymaga niezmienności rotacji. Analizy ludzie się o nich troszczą, ale probabiliści tak naprawdę nie .

Raison d'être z teorii miary w teorii prawdopodobieństwa jest ujednolicenie traktowania dyskretnych i ciągłych RV, a ponadto pozwalają na przyczepach, które są mieszane i RV, które są po prostu nie.

Yatharth Agarwal
źródło
σσ