Mamy losowy eksperyment z różnymi wynikami tworzących próbkę kosmicznego na które patrzymy z zainteresowaniem w niektórych wzorów, zwany wydarzenia Algebry Sigma (lub pola sigma) składają się ze zdarzeń, do których można przypisać miarę prawdopodobieństwa Pewne właściwości są spełnione, w tym włączenie zbioru zerowego i całej przestrzeni próbki oraz algebry, która opisuje związki i przecięcia ze schematami Venna.
Prawdopodobieństwo jest zdefiniowane jako funkcja między -algebrą a przedziałem . W sumie potrójna tworzy przestrzeń prawdopodobieństwa .
Czy ktoś mógłby wyjaśnić prostym językiem, dlaczego gmach prawdopodobieństwa zawaliłby się, gdybyśmy nie mieli algebry ? Są po prostu klinowane w środku z niemożliwie kaligraficznym „F”. Ufam, że są konieczne; Widzę, że wydarzenie różni się od wyniku, ale co by się nie udało bez -algebr?
Pytanie brzmi: w jakiego rodzaju problemach prawdopodobieństwa definicja przestrzeni prawdopodobieństwa zawierającej staje się koniecznością?
Ten dokument online na stronie internetowej Dartmouth University zawiera proste wyjaśnienie w języku angielskim. Chodzi o obracający się wskaźnik obracający się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na okręgu o obwodzie jednostkowym :
Zaczynamy od zbudowania przędzarki, która składa się z koła o obwodzie jednostkowym i wskaźnika, jak pokazano na rycinie. Wybieramy punkt na okręgu i oznaczamy go jako , a następnie oznaczamy każdy inny punkt na okręgu odległością, powiedzmy , od do tego punktu, mierzoną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Eksperyment polega na obróceniu wskaźnika i zarejestrowaniu etykiety punktu na końcu wskaźnika. Pozwalamy losowej zmiennej oznaczać wartość tego wyniku. Przestrzeń próbki jest wyraźnie interwałem . Chcielibyśmy zbudować model prawdopodobieństwa, w którym każdy wynik będzie równie prawdopodobne. Jeśli postępujemy tak, jak [...] w przypadku eksperymentów ze skończoną liczbą możliwych wyników, musimy przypisać prawdopodobieństwo każdemu wynikowi, ponieważ w przeciwnym razie suma prawdopodobieństw dla wszystkich możliwych wyników nie byłaby równa się 1. (W rzeczywistości sumowanie niepoliczalnej liczby liczb rzeczywistych jest trudną sprawą; w szczególności, aby taka suma miała jakiekolwiek znaczenie, co najwyżej licznie wiele sum może być różna od ). Jednak jeśli wszystkie przypisane prawdopodobieństwa wynoszą , a następnie suma wynosi , a nie , jak powinno być.
Jeśli więc przypiszemy każdemu punktowi jakiekolwiek prawdopodobieństwo i biorąc pod uwagę, że istnieje (niepoliczalnie) liczba nieskończoności, ich suma będzie sumować się do .
źródło
Odpowiedzi:
Teoria prawdopodobieństwa dopuszczenia wszystkich podzbiorów zbiorów niepoliczalnych złamie matematykę
Ale co, jeśli obszar zestawu zainteresowań nie jest dobrze zdefiniowany?
W praktyce więc po prostu dokonanie tej obserwacji często wystarcza, aby stwierdzić, że rozważa się jedynie zestawy mierzalne Lebesgue'a, aby uzyskać postęp w stosunku do problemu zainteresowania.
Ale czekaj, co to jest zestaw niewymierny?
Obawiam się, że sam mogę rzucić na to trochę światła. Ale paradoks Banacha-Tarskiego (czasem paradoks „słońce i groszek”) może nam pomóc:
Aby rozwiązać ten paradoks, można dokonać jednej z czterech ustępstw:
źródło
Tego rodzaju wprowadzenie zobaczyłem najpierw w bardzo dobrej książce Petera Whittle'a „Prawdopodobieństwo przez oczekiwanie” (Springer).
EDYTOWAĆ
Ale czy naprawdę potrzebujemy silnego prawa wielkich liczb? Według jednej odpowiedzi tutaj , może nie.
źródło
Cóż, nie jest to całkowicie czysta obudowa, ale istnieje kilka solidnych powodów .
Dlaczego probabiliści potrzebują środków?
Ludzie przynoszą zestaw Vitali i Banach-Tarskiego, aby wyjaśnić, dlaczego potrzebujesz teorii miary, ale myślę, że to jest mylące . Zbiór Vitali odchodzi tylko dla (nietrywialnych) miar, które są niezmienne w tłumaczeniu, których przestrzenie prawdopodobieństwa nie wymagają. A Banach-Tarski wymaga niezmienności rotacji. Analizy ludzie się o nich troszczą, ale probabiliści tak naprawdę nie .
Raison d'être z teorii miary w teorii prawdopodobieństwa jest ujednolicenie traktowania dyskretnych i ciągłych RV, a ponadto pozwalają na przyczepach, które są mieszane i RV, które są po prostu nie.
źródło