Przykłady rzeczywistej różnicy między niezależnością a korelacją

Dobrze wiadomo, że niezależność zmiennych losowych implikuje zerową korelację, ale zerowa korelacja nie musi oznaczać niezależności.

Natknąłem się na wiele przykładów matematycznych wykazujących zależność pomimo zerowej korelacji. Czy istnieją jakieś prawdziwe przykłady na poparcie tego faktu?

Zwroty zapasów są dobrym przykładem tego, o co prosisz. Istnieje bardzo bliska zerowej korelacji między dzisiejszym a wczorajszym zwrotem S&P 500. Istnieje jednak wyraźna zależność: zwroty kwadratowe są pozytywnie autokorelowane; okresy wysokiej zmienności są grupowane w czasie.

Kod R:

library(ggplot2)
library(grid)
library(quantmod)

symbols   <- new.env()
date_from <- as.Date("1960-01-01")
date_to   <- as.Date("2016-02-01")
getSymbols("^GSPC", env=symbols, src="yahoo", from=date_from, to=date_to)  # S&P500

df <- data.frame(close=as.numeric(symbols$GSPC$GSPC.Close),
                 date=index(symbols$GSPC))
df$log_return     <- c(NA, diff(log(df$close)))
df$log_return_lag <- c(NA, head(df$log_return, nrow(df) - 1))

cor(df$log_return,   df$log_return_lag,   use="pairwise.complete.obs")  # 0.02
cor(df$log_return^2, df$log_return_lag^2, use="pairwise.complete.obs")  # 0.14

acf(df$log_return,     na.action=na.pass)  # Basically zero autocorrelation
acf((df$log_return^2), na.action=na.pass)  # Squared returns positively autocorrelated

p <- (ggplot(df, aes(x=date, y=log_return)) +
      geom_point(alpha=0.5) +
      theme_bw() + theme(panel.border=element_blank()))
p
ggsave("log_returns_s&p.png", p, width=10, height=8)

Szeregi czasowe zwrotów dziennika w S&P 500:

Gdyby zwroty były niezależne w czasie (i stacjonarne), bardzo mało prawdopodobne byłoby zaobserwowanie tych wzorców klastra zmienności i nie zobaczyłbyś autokorelacji w kwadratowych zwrotach dziennika.

Innym przykładem jest związek między stresem a ocenami na egzaminie. Zależność ma odwrotny kształt litery U, a korelacja jest bardzo niska, mimo że związek przyczynowy wydaje się dość wyraźny.