Co to znaczy całkowanie na podstawie losowej miary?

Obecnie patrzę na artykuł z modelu efektów losowych procesu Dirichleta, a jego specyfikacja jest następująca: gdzie jest parametrem skali a jest miarą podstawową. W dalszej części artykułu sugeruje, że zintegrujemy funkcję nad miarą podstawową taką jak Czy podstawową miarą w procesie Dirichleta jest cdf, czy jest to pdf? Co się stanie, jeśli miarą podstawową jest gaussowski?

$$\begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*}$$ $\alpha$$G_{0}$$G_{0}$ $$\int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).$$

Oznacz przez $\mathcal{M}$mierzalna przestrzeń miar prawdopodobieństwa, zawierająca realizacje procesu Dirichleta. Losowa miara prawdopodobieństwa$G$ jest funkcją mierzalną

$$G : \omega \mapsto G_\omega \in \mathcal{M}$$ i całka w odniesieniu do $G$ jest zmienną losową $$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi) : \omega \mapsto \int f(\,\cdot\,|\,\psi) dG_\omega(\psi).$$ A zatem $\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi)$sam jest losowym plikiem pdf (jeśli$f(\cdot| \psi)$ to pdf).

---

Chodzi o to, że $\psi_i$ następuje nieznana dystrybucja $G$. W niektórych przypadkach możesz mieć powody, by w to wierzyć$\psi_i$jest zwykle dystrybuowane, a następnie kładzie nacisk na średnią i wariancję. W innych przypadkach nie chcesz przyjmować takich parametrycznych założeń. Na przykład w twoim modelu wcześniej$G$ jest procesem Dirichleta.

---

Czy podstawową miarą w procesie Dirichleta jest cdf, czy jest to pdf?

Miarą podstawową jest jakakolwiek miara prawdopodobieństwa, zwykle przyjmowana w celu uzyskania pełnego wsparcia. W niektórych przypadkach można to przedstawić za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa. To nie jest bardzo ważne.