Czy istnieje inna interpretacja rozkładu gamma z parametrem kształtu niecałkowitym?

Dobrze wiadomo, że zmienna losowa jest rozkładem gamma z parametrem kształtu liczby całkowitej $k$ jest równa sumie kwadratów $k$ normalnie rozmieszczone zmienne losowe.

Ale co mogę powiedzieć o losowej zmiennej rozproszonej gamma z liczbą całkowitą $k$? Czy w ogóle jest jakaś inna interpretacja niż rozkład gamma?

Gdyby $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ i $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$ są wtedy niezależni

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ W szczególności jeśli $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$, jest rozpowszechniany z taką samą dystrybucją jak $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ dla każdego $n\in\mathbb N$. (Ta właściwość nosi nazwę nieskończonej podzielności .) Oznacza to, że jeśli$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ kiedy $\alpha$ nie jest liczbą całkowitą, $X$ ma taki sam rozkład jak $Y+Z$ z $Z$ niezależny od $Y$ i $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ Oznacza to również, że kształty o wartościach całkowitych $\alpha$ nie mają szczególnego znaczenia dla gamma.

I odwrotnie, jeśli $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ z $\alpha<1$, ma taki sam rozkład jak $YU^{1/\alpha}$ kiedy $Y$ jest niezależny od $U\sim{\cal U}(0,1)$ i

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ I stąd rozkład ${\cal G}(\alpha,1)$ jest niezmienny w $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$