To pytanie wynika z zadanego tutaj pytania na temat funkcji generowania momentu związanego (MGF).
Załóżmy, że jest ograniczoną losową zmienną o zerowej średniej przyjmującą wartości w
i niech będzie jej MGF. Z granicy użytej w dowodzie nierówności Hoeffdinga mamy
gdzie prawa strona jest rozpoznawalna jako MGF zerowej średniej normalnej zmiennej losowej ze standardowym odchyleniem . Teraz odchylenie standardowe może być większe niż , przy czym maksymalna wartość występuje, gdy jest dyskretną zmienną losową taką, że
Moje pytanie brzmi: czy jest to dobrze znany wynik niezależnego zainteresowania, który jest wykorzystywany w miejscach innych niż jako dowód nierówności Hoeffdinga, a jeśli tak, to czy wiadomo, że rozciąga się on na zmienne losowe o niezerowych wartościach?
Wynik które pobudza kwestia ta umożliwia asymetryczny zakres o o lecz domagać . Granica to
gdzie jest maksymalnym odchyleniem standardowym możliwym dla zmiennej losowej z wartościami ograniczonymi do , ale maksimum to nie jest osiągane przez zmienne losowe o średniej zerowej, chyba że
.< 0 < b E [ X ] = 0 G ( T ) ≤ E T 2 ( b - ) 2 / 8 = E T 2 σ 2 m x / 2 σ max = ( b - a ) / 2 [ a , b ] b =
źródło
Odpowiedzi:
Nie mogę odpowiedzieć na pierwszą część twojego pytania, ale jeśli chodzi o rozszerzenie jej na zmienne losowe z niezerowymi oznacza ...
Najpierw zauważ, że każdy rv o skończonym zasięguZ [a+μ,b+μ] i (koniecznie skończonym) środku może zostać przekształcony w rv który jest oczywiście zerową średnią o zakresie (spełniając w ten sposób warunki w opisie problemu). Przekształcony wariant ma mgf (według podstawowych właściwości mgf) Mnożąc obie strony przez i stosując nierówność daje:μ X=Z−μ [a,b] ϕX(t)=exp{−μt}ϕZ(t) exp{μt}
Nic dziwnego, że mgf normalnej zmiennej losowej o tej samej średniej i standardowym odchyleniu równym .σmax
źródło