Czy suma dużej liczby niezależnych zmiennych losowych Cauchy'ego jest normalna?

9

Według centralnego twierdzenia granicznego funkcja gęstości prawdopodobieństwa sumy dużych niezależnych zmiennych losowych dąży do normalności. Czy możemy zatem powiedzieć, że suma dużej liczby niezależnych zmiennych losowych Cauchy'ego jest również normalna?

random-variable central-limit-theorem cauchy urvah shabbir
źródło
4
Jakie są hypohtezy wersji twierdzenia o limicie centralnym, którego się nauczyłeś?
Brian Borchers,

Odpowiedzi:

16

Nie.

Brakuje jednego z głównych założeń centralnego twierdzenia o granicy:

... zmienne losowe ze skończonymi wariancjami ...

Rozkład Cauchy'ego nie ma skończonej wariancji.

Rozkład Cauchy'ego jest przykładem rozkładu, który nie ma zdefiniowanej średniej, wariancji ani wyższych momentów.

w rzeczywistości

Jeśli są niezależnymi i identycznie rozmieszczonymi losowymi zmiennymi, każda ze standardowym rozkładem Cauchy'ego, wówczas średnia próby ma taki sam standardowy rozkład Cauchy'ego.X1,…,XnX1+⋯+Xnn

Tak więc sytuacja w twoim pytaniu jest dość jasna, po prostu odzyskujesz tę samą dystrybucję Cauchy'ego.

To jest koncepcja stabilnej dystrybucji, prawda?

Tak. (Ściśle) stabilny rozkład (lub zmienna losowa) to taki, dla którego dowolna kombinacja liniowa dwóch kopii iid jest dystrybuowana proporcjonalnie do pierwotnego rozkładu. Rozkład Cauchy'ego jest rzeczywiście ściśle stacjonarny.aX1+bX2

(*) Cytaty z wikipedii.

Matthew Drury
źródło
łał. Powinienem udoskonalić moją koncepcję CLT. wielkie dzięki za odpowiedź.
urvah shabbir
Cauchy jest naprawdę dobrym przykładem w tej przestrzeni. W ogonach jest tylko tyle masy, że uśrednianie nie pociąga jej w stronę średniej, ale nie jest wystarczające, aby wartości odstające powodowały gromadzenie się masy w ogonach. Ma prawo na granicy, gdzie CLT zawodzi.
Matthew Drury,
4
„Jest na granicy, gdzie CLT zawodzi”. Niezupełnie - rozkład z 2 stopniami swobody miałby skończony, ale nieskończony, podczas gdy Cauchy nie ma żadnego. W przypadku Cauchy'ego prawo wielkich liczb nawet nie ma zastosowania! tE(|X|)E(X2)
Andrew M,
Ohhh, ciekawe! Przypuszczam, że naprawdę przeszukałem trochę niuansów.
Matthew Drury,
Jeśli dobrze pamiętam, faktycznie istnieje odpowiednie twierdzenie graniczne dla t2 i Cauchy'ego. Jeśli dobrze pamiętam odpowiedni wybór normalizacji jako funkcji t2 zbiega się z normalnością - bardzo powoli - podczas gdy dla Cauchy'ego mamy te próbki, to znaczy od tego samego Cauchy'ego, od którego zaczęliśmy. nX¯−μ
Glen_b