Robiąc to samo pod mniej formalną, ale bardziej „zwykłą” motywacją podręcznika (która jest być może bardziej intuicyjna, szczególnie dla początkujących uczniów), staramy się przybliżyć zmienną dyskretną ciągłą. Możemy stworzyć ciągłą wersję dwumianu, zastępując każdy skok prawdopodobieństwa wysokości prostokątem o szerokości 1 wyśrodkowanym na , dając mu wysokość (patrz niebieski prostokąt poniżej; wyobraź sobie jeden na każde x- wartość), a następnie aproksymując ją normalną gęstością przy użyciu tej samej średniej i wartości sd co pierwotny dwumian:x p ( x )p ( x )xp ( x )
Obszar pod polem jest przybliżony przez normalną między a ; dwie prawie trójkątne części, które leżą powyżej i poniżej poziomego stopnia, znajdują się blisko siebie. Pewna suma prawdopodobieństw dwumianowych w przedziale zmniejszy się do zbioru tych przybliżeń. (Narysowanie takiego diagramu jest często bardzo przydatne, jeśli nie jest od razu jasne, czy należy przejść w górę lub w dół o 0,5 dla konkretnego obliczenia ... ustalić, które wartości dwumianowe chcesz w obliczeniach i przejść po obu stronach dla każdy.)x - 12)x + 12)12)
Można motywować to podejście algebraicznie za pomocą pochodnej [wzdłuż linii De Moivre'a - patrz tutaj lub tutaj na przykład], aby uzyskać normalne przybliżenie (chociaż można to wykonać nieco bardziej bezpośrednio niż podejście De Moivre'a).
To zasadniczo przebiega przez kilka aproksymacji, w tym za pomocą aproksymacji Stirlinga dla terminu i za pomocą tego aby to uzyskać( nx)log( 1 + x ) ≈ x - x2)/ 2
P.( X= x ) ≈ 12 πn p ( 1 - p )----------√exp( - ( x - n p )2)2 n p ( 1 - p ))
co oznacza, że gęstość normy ze średnią i wariancją przy jest w przybliżeniu wysokości dwumianu pmf przy . Właśnie w tym miejscu dotarł De Moivre.μ = n pσ2)= n p ( 1 - p )xx
Rozważmy teraz, że mamy przybliżenie reguły punktu środkowego dla normalnych obszarów pod względem wysokości dwumianowych ... to znaczy, dla , reguła punktu środkowego mówi, że i mamy z De Moivre, że . Odwracając to, .Y∼ N.( n p , n p ( 1 - p ) )fa( y+ 12)) - F( y- 12)) = ∫y+ 12)y- 12)faY( u ) du ≈ fY( y)faY( x ) ≈ P( X= x )P.( X= x ) ≈ F.( x + 12)) - F( x - 12))
[Podobne przybliżenie typu „reguła punktu środkowego” może być użyte do motywowania innych takich przybliżeń ciągłego pmfs przez gęstość za pomocą korekcji ciągłości, ale zawsze należy uważać, aby zwrócić uwagę na to, gdzie warto przywołać to przybliżenie]
Ilustracja sytuacji, w której korekta ciągłości nie pomaga:
Na wykresie po lewej stronie (gdzie jak poprzednio, jest dwumianowy, jest normalnym przybliżeniem), a więc . Na wykresie po prawej stronie (ten sam dwumian, ale głębiej w ogon), i tak - co jest powiedzieć, że ignorowanie korekty ciągłości jest lepsze niż użycie jej w tym regionie.XYfaX( x ) ≈ F.Y( x + 12))p ( x ) ≈ F.Y( x + 12)) - FY( x - 12))faX( x ) ≈ F.Y( x )p ( x ) ≈ F.Y( x ) - FY( x - 1 )
[1]: Hald, Anders (2007),
„Historia wnioskowania statystycznego parametrycznego od Bernoulli do Fishera, 1713–1935”,
Źródła i badania w historii matematyki i nauk fizycznych,
Springer-Verlag, Nowy Jork