Czy suma zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej jest ciągła czy mieszana?

Jeśli jest dyskretną, a ciągłą zmienną losową, to co możemy powiedzieć o rozkładzie ? Czy jest ciągły czy mieszany? $X$ $Y$ $X+Y$

Co z produktem ? $XY$

self-study distributions random-variable użytkownik666
źródło

Odpowiedzi:

Załóżmy, że przyjmuje wartości z rozkładem dyskretnym , gdzie jest zbiorem policzalnym, a przyjmuje wartości w o gęstości i CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Niech . Mamy które można różnicować w celu uzyskania funkcji gęstości dla określonej przez $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Teraz pozwól i przyjmij . Następnie które ponownie można różnicować w celu uzyskania funkcji gęstości. $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$

Jednak jeśli , to , co pokazuje, że w tym przypadku ma atom na 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

Joris Bierkens
źródło

Niech będzie dyskretną zmienną losową z funkcją masy prawdopodobieństwa , gdzie jest zbiorem dyskretnym (być może nieskończenie licznym). Zmienna losowa może być traktowana jako ciągła zmienna losowa o następującej funkcji gęstości prawdopodobieństwa $X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

gdzie to funkcja delta Diraca. $\delta$

Jeśli jest ciągłą zmienną losową, to jest hybrydową zmienną losową. Jak wiemy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i , możemy obliczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa . Przy założeniu, że i są niezależne, to funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest przez splatanie z funkcji gęstości prawdopodobieństwa i $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

Rodrigo de Azevedo
źródło

Dlaczego głosowanie negatywne?

Rodrigo de Azevedo

Tak, jestem również ciekawy opinii negatywnej

Yair Daon,

@ Yair Nie głosowałem za tym, ale wygląda na mylącą i niepełną odpowiedź. Samo napisanie dystrybucji w postaci delty Diraca nie czyni jej ciągłą! Ta odpowiedź jest również ograniczona, ponieważ (a) nie uwzględnia ogólnych rozkładów dyskretnych, które mogą mieć policzalną nieskończoność atomów oraz (b) domyślnie zakłada, że i są niezależne.

X

$X$

Y

$Y$

whuber

@ whuber Zgadzam się z (b). Mówi się jednak, że dyskretny RV „można uznać za…”, więc myślę, że dodaje on interesującego widoku.

Yair Daon

Dlatego napisałem, że twoja odpowiedź jest myląca. Ponieważ pytanie dotyczy rozróżnienia między rozkładami dyskretnymi i ciągłymi - i to rozróżnienie jest kwestią definicji matematycznej, a nie „smaku” - twoje wysiłki w celu pomylenia tych dwóch elementów będą prawdopodobnie mniej niż pomocne.

whuber

Ta odpowiedź zakłada, że i są niezależne. Oto rozwiązanie, które nie wymaga tego założenia. $X$ $Y$

Edycja: Zakładam, że „ciągły” oznacza „posiadanie pliku pdf”. Jeśli zamiast tego ciągłe ma oznaczać brak atomu, dowód jest podobny; po prostu zamień „Lebesgue null set” na „singleton set” w dalszej części.

Niech obsługa będzie policzalnym zestawem . Użyję $X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

Lemat: Zmienna losowa jest ciągła, jeśli i tylko dla wszystkich mierzalnych zbiorów Borela z miarą zero Lebesgue'a. $Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

Dowód: użyj twierdzenia Lebesgue-Radon-Nikodym . $\square$

Aby udowodnić, że jest ciągły, weź dowolny zerowy zestaw i zwróć uwagę, że Ale wtedy i tylko wtedy, gdy . Przesunięty zestaw nadal ma wartość Lebesgue null. Ponieważ jest ciągłe, oznacza to, że , więc powyższe sumowanie wynosi zero, co dowodzi, że jest ciągłe. $X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

W przypadku produktów obowiązuje ta sama logika, o ile . Jeśli , to jest dyskretne z . W przeciwnym razie jest nietrywialną mieszanką. $P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

Mike Earnest
źródło