Zapisywanie równania matematycznego dla wielopoziomowego modelu efektów mieszanych

Pytanie CV

Próbuję podać (a) szczegółową i zwięzłą matematyczną reprezentację modelu efektów mieszanych. Korzystam z lme4pakietu w języku R. Jaka jest prawidłowa reprezentacja matematyczna dla mojego modelu?

---

Dane, pytanie naukowe i kod R.

Mój zestaw danych składa się z gatunków w różnych regionach. Testuję, czy występowanie gatunku zmienia się w czasie prowadzącym do wyginięcia (wyginięcie niekoniecznie musi być trwałe; może rekolonizować), czy też po kolonizacji.

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

• Rozpowszechnienie to odsetek warstw zajmowanych przez gatunek w danym roku regionu
• Czas jest zmienną ciągłą, która wskazuje czas do wyginięcia lub kolonizacji; to zawsze jest pozytywne
• Typ jest zmienną kategorialną z dwoma poziomami. Te dwa poziomy to „-” i „+”. Gdy typ to -, jest to kolonizacja (poziom domyślny). Kiedy typ to +, oznacza to wyginięcie.
• Reg jest kategoryczną zmienną z dziewięcioma poziomami wskazującymi region
• Spp jest zmienną kategoryczną; liczba poziomów różni się w zależności od regionu i waha się od 48 poziomów do 144 poziomów.

Innymi słowy: zmienna odpowiedzi to rozpowszechnienie (odsetek zajętych warstw). Naprawiono efekty obejmujące 1) i przechwytywanie, 2) czas od zdarzenia oraz 3) interakcję między czasem do rodzaju zdarzenia (typ kolonizacji lub wyginięcia). Każdy z 3 stałych efektów zmieniał się losowo między regionami. W obrębie regionu każdy efekt zmieniał się losowo między gatunkami.

Próbuję wymyślić, jak napisać równanie matematyczne dla modelu.Myślę, że rozumiem, co się dzieje w kodzie R (chociaż jestem pewien, że mam pewne luki w wiedzy i mam nadzieję, że napisanie formalnego wyrażenia matematycznego poprawi moje rozumienie).

Dość często przeszukiwałem sieć i fora. Na pewno znalazłem mnóstwo przydatnych informacji (i może link do niektórych z nich edytuję to pytanie). Jednak nie mogłem do końca stwierdzić, że „Rosetta Stone” kodu R przetłumaczonego na matematykę (bardziej mi się podoba z kodem), który naprawdę pomógłby mi potwierdzić, że mam rację. Wiem, że są już pewne luki, ale do tego dojdziemy.

---

Moja próba

Podstawową formą modelu efektów mieszanych w notacji macierzowej jest (w moim rozumieniu):

$$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$$

$$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$$ Z= [ 1 I ( r 1 ) Δ t I ( r 1 ) Δ t + I ( r 1 ) … 1 I ( r 9 ) Δ t I ( r 9 ) Δ t + I ( r 9 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ $$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$$ $$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$$ ϵ∼N(0,Σ $$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$$ $$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$$

• jest macierzą konstrukcja ustalonych efektów Δ t jest czasem po kolonizacji () i Δ T + jest czas po ekstynkcji ()$X$$\Delta t$time$\Delta t_{+}$time:type
• $Z$
• $\beta$$\gamma$
• $\epsilon$$\Sigma$

Zakładając, że do tej pory wszystko jest ~ poprawne, to znaczy, że jestem dobry na najwyższym poziomie. Jednak wyjaśnienie specyficznej dla gatunku zmienności parametrów, które są zagnieżdżone w każdym regionie, zaskoczyło mnie jeszcze bardziej.

Ale zgryzłem coś, co może ma sens ...

$\gamma$$\gamma$

• $\gamma_{p,r} = U_{p,r} b_{p,r} + \eta_{p,r}$
  • gdzie jest macierzą projektową specyficzną dla regionu $U_{p,r}$$r$$p$$b_{p,r}$$S$$\eta_{p,r}$

$\gamma_{p,r}$

$$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$$ $$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$$ $$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$$ $$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$$ $$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$$ $$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$$\epsilon$$\Sigma$$G$

---

Edycja: inne pytania / odpowiedzi, które były nieco pomocne

• To Q / A było fajne, ale nie wypisało rzeczy w pełnej formie matrycy

Jeśli dobrze zrozumiałem kod, po prostu napisz coś takiego

$$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$$ $$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$$ or, if the first equation is too long, something like $$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$$ and $$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$$ with the same covariance structure as above? It shows the nested structure of the data as well as which coefficients vary across which levels.