Jak rozkłada się minimum zestawu zmiennych losowych?

56

Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie, co ogólnie można powiedzieć o rozkładzie ?X1,...,Xnmin(X1,...,Xn)

Simon Nickerson
źródło

Odpowiedzi:

38

Jeśli cdf z Xi jest oznaczony przez F(x) , to cdf minimum jest podane przez 1[1F(x)]n .

Rob Hyndman
źródło
62

Jeśli CDF z Xi jest oznaczony przez F(x) , to CDF minimum wynosi 1[1F(x)]n .

Uzasadnienie: biorąc pod uwagę n zmiennych losowych, prawdopodobieństwo P(Yy)=P(min(X1Xn)y) implikuje, że co najmniej jeden Xi jest mniejszy niż y .

Prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden Xi jest mniejszy niż y jest równoważne jeden minus prawdopodobieństwo, że wszystkie Xi są większe niż y , tj. P(Yy)=1P(X1>y,,Xn>y) .

Jeśli są niezależne, identycznie rozmieszczone, wówczas prawdopodobieństwo, że wszystkie są większe niż wynosi . Dlatego pierwotne prawdopodobieństwo wynosi .XiXiy[1F(y)]nP(Yy)=1[1F(y)]n

Przykład : powiedz , a następnie intuicyjnie prawdopodobieństwo powinno być równe 1 (ponieważ minimalna wartość będzie zawsze mniejsza niż 1 od dla wszystkich ). W tym przypadku więc prawdopodobieństwo wynosi zawsze 1.XiUniform(0,1)min(X1Xn)10Xi1iF(1)=1

ukw
źródło
1
Ta strona obsługuje składnię Markdown do edycji, a także LATEX do wyrażeń matematycznych. Więcej informacji można znaleźć tutaj: stats.stackexchange.com/editing-help .
chl
Dzięki za podanie uzasadnienia. Miałem problem ze zmiennymi nie identycznie rozłożonymi, ale minimalna logika nadal była dobrze stosowana :)
Matchu
14

Rob Hyndman udzielił łatwej i dokładnej odpowiedzi dla stałego n. Jeśli interesuje Cię zachowanie asymptotyczne dla dużych n, jest to obsługiwane w dziedzinie teorii ekstremalnych wartości . Istnieje mała rodzina możliwych ograniczających dystrybucji; patrz na przykład pierwsze rozdziały tej książki .

Mark Meckes
źródło
2
Moim zdaniem ta książka jest książką o teorii ekstremalnych wartości
robin girard
0

Myślę, że odpowiedź 1- (1-F (x)) ^ n jest poprawna w szczególnych przypadkach. Szczególnymi przypadkami jest warunek, że pmf rv opiera się na formule dla domeny rv. Jeżeli będzie różny w różnych częściach domeny powyżej wspomniana formuła nieco odbiega od rzeczywistych wyników symulacji.

Sasan Parsa
źródło
@gung Rozumiem, dlaczego tak wnioskujesz, ale ta odpowiedź nie dotyczy ustawienia IID pytania: dlatego wydaje się (poprawny i potencjalnie interesujący) komentarz do samego pytania.
whuber
To zależy od ciebie, @whuber, jeśli chcesz przekonwertować to na komentarz, to twoja rozmowa.
gung - Przywróć Monikę