Powiedzmy, że mamy zmienną losową z zakresu wartości ograniczonego a , gdzie jest wartością minimalną i wartości maksymalnej.
Powiedziano mi, że jako , gdzie jest naszą wielkością próby, rozkład próbkowania naszych średnich próbek jest rozkładem normalnym. Oznacza to, że wraz ze wzrostem zbliżamy się coraz bardziej do rozkładu normalnego, ale rzeczywisty limit od jest równy rozkładowi normalnemu.
Czy jednak nie jest częścią definicji rozkładu normalnego, który musi rozciągać się od do ?
Jeśli maksimum naszego zakresu wynosi , wówczas maksymalna średnia próbki (niezależnie od wielkości próbki) będzie równa , a minimalna średnia próbki będzie równa .
Wydaje mi się więc, że nawet jeśli przyjmiemy limit, gdy zbliża się do nieskończoności, nasz rozkład nie jest rzeczywistym rozkładem normalnym, ponieważ jest ograniczony przez i .b
Czego mi brakuje ?
źródło
Jeśli odwołujesz się do centralnego twierdzenia o limicie, zauważ, że jednym z prawidłowych sposobów jego wypisania jest
w normalnych warunkach ( jest średnią i odchyleniem standardowym ).x iμ,σ xi
Dzięki tej formalnej definicji od razu widać, że lewa strona może przyjmować wartości dla dowolnego skończonego zakresu, biorąc pod uwagę wystarczająco dużą wartość .n
Aby pomóc połączyć się z nieformalnych idei, że „średnia zbliża się do rozkładu normalnego dla dużych ”, musimy zdać sobie sprawę, że „zbliża się do rozkładu normalnego” oznacza, że dostać CDF w dowolnie blisko do rozkładu normalnego jako dostaje duże. Ale gdy staje się duże, odchylenie standardowe tego przybliżonego rozkładu zmniejsza się, więc prawdopodobieństwo ekstremalnego ogona zbliżonej normy również spada do 0.n nn n n
Załóżmy na przykład . Następnie możesz użyć nieformalnego przybliżenia, aby to powiedziećXi∼Bern(p=0.5)
Więc chociaż prawdą jest, że dla dowolnego skończonego ,n
(sugerując, że przybliżenie nigdy nie jest doskonałe), ponieważ ,n→∞
Tak że rozbieżność pomiędzy rzeczywistą dystrybucji i dystrybucji przybliżonej jest znikają, jak ma się dziać z przybliżeń.
źródło