Twierdzenie o granicy centralnej stwierdza, że średnia zmiennych iid, gdy przechodzi w nieskończoność, staje się normalnie rozkładem.
Rodzi to dwa pytania:
- Czy możemy z tego wywnioskować prawo wielkich liczb? Jeśli prawo wielkich liczb mówi, że średnia próbki wartości zmiennej losowej jest równa prawdziwej średniej gdy przechodzi w nieskończoność, wydaje się jeszcze silniejsze stwierdzenie, że (jak mówi środkowa granica) wartość staje się gdzie jest odchyleniem standardowym. Czy można zatem powiedzieć, że centralny limit implikuje prawo wielkich liczb?N N ( μ , σ ) σ
- Czy centralne twierdzenie o granicy dotyczy liniowej kombinacji zmiennych?
probability
central-limit-theorem
law-of-large-numbers
użytkownik9097
źródło
źródło
Odpowiedzi:
OP mówi
Przyjmuję to, że OP jest przekonany, że dla iid zmiennych losowych ze średnią i odchyleniem standardowym , skumulowana funkcja rozkładu z zbieżna z funkcją skumulowanego rozkładu , normalnej zmiennej losowej ze średnią i odchyleniem standardowym . Lub OP uważa, że drobne zmiany aranżacji tej formuły, np. Rozkład zbieżny z rozkładem lub rozkładem μ σ F Z n ( a ) Z n = 1Xja μ σ faZn( ) N(μ,σ)μσZn-μN(0,σ)(Zn-μ)/σN(0,1)P{| Zn-μ| >σ}=1-FZn(μ+σ
OP mówi dalej
Słaba zasada dużych liczb mówi, że dla iid zmiennych losowych ze skończoną średnią , biorąc pod uwagę dowolne , Należy pamiętać, że nie trzeba zakładać, że odchylenie standardowe jest skończone.Xja μ ϵ > 0
Aby odpowiedzieć na pytanie PO,
Twierdzenie o centralnym limicie, określone przez PO , nie implikuje słabego prawa wielkich liczb. Jako , wersja centralnego twierdzenia granicznego OP mówi, że podczas gdy słabe prawo mówi, żen → ∞ P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯ P{|Zn−μ|>σ}→0
Z poprawnego stwierdzenia centralnego twierdzenia o granicy można w najlepszym razie wywnioskować tylko ograniczoną formę słabego prawa wielkich liczb, mającego zastosowanie do zmiennych losowych o średniej skończonej i odchyleniu standardowym. Ale słabe prawo dużych liczb obowiązuje również dla zmiennych losowych, takich jak zmienne losowe Pareto ze skończonymi średnimi, ale nieskończonymi odchyleniami standardowymi.
Nie rozumiem, dlaczego stwierdzenie, że średnia próbki jest zbieżna do normalnej zmiennej losowej z niezerowym odchyleniem standardowym, jest silniejszym stwierdzeniem niż stwierdzenie, że średnia próbki jest zbieżna ze średnią populacji, która jest stałą (lub zmienną losową o zerowym odchyleniu standardowym, jeśli lubisz).
źródło
W przypadku prawa dużych liczb należy zdefiniować wszystkie zmienne w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa (ponieważ prawo dużych liczb jest stwierdzeniem prawdopodobieństwa zdarzenia określonego przez , dla wszystkich jednocześnie). Aby uzyskać zbieżność w rozkładzie, możesz mieć różne przestrzenie prawdopodobieństwa, co upraszcza wiele aspektów proofów (np. Zwiększenie zagnieżdżonych przestrzeni, bardzo powszechne dla różnych proofów z układem trójkątnym). Ale oznacza to również, że nie możesz powiedzieć żadnych oświadczeń dotyczących wspólnych rozkładów i . Zatem nie, zbieżność w rozkładzie nie implikuje prawa wielkich liczb, chyba że masz wspólną przestrzeń prawdopodobieństwa dla wszystkich zmiennych.X¯n n X¯n X¯n+1
źródło
Po pierwsze, chociaż istnieje wiele definicji, jedna ze standardowych form centralnego twierdzenia o granicy mówi, że zbieżny w rozkładzie do gdzie jest średnią próbkę IID kopie około zmiennej losowej .n−−√(X¯n−EX) N(0,Var(X)) X¯ n X
Po drugie, załóżmy, że mamy dwa niezależne zmienne losowe i . Następnie lubX Y
Innymi słowy, liniowa kombinacja zmiennych losowych nie będzie zbieżna z liniową kombinacją normalnych pod CLT, tylko jedną normalną. Ma to sens, ponieważ liniowa kombinacja zmiennych losowych jest po prostu inną zmienną losową, do której można bezpośrednio zastosować CLT.
źródło