Masz rację, powierzchnia rozwiązania będzie ogólnie hiperpłaszczyzną. Po prostu słowo „hiperpłaszczyzna” to kęs, płaszczyzna jest krótsza, a linia jeszcze krótsza. W dalszym ciągu matematyki sprawa jednowymiarowa jest coraz rzadziej dyskutowana, więc kompromis
Big words for high dimensional, Small words for small dimensional
zaczyna patrzeć, cóż, do tyłu.
Na przykład, gdy widzę równanie takie jak , gdzie jest macierzą, a są wektorami, nazywam to równaniem liniowym . We wcześniejszej części mojego życia nazwałbym to układem równań liniowych , rezerwując równanie liniowe dla przypadku jednowymiarowego. Ale doszedłem do momentu, w którym przypadek jednowymiarowy po prostu nie pojawiał się zbyt często, podczas gdy przypadek wielowymiarowy był wszędzie.A x , bA x = bZAx , b
Dzieje się tak również z notacją. Widziałeś kiedyś, jak ktoś pisze
∂fa∂x= 2 x
Ten symbol po lewej to nazwa funkcji, więc aby być formalnym i pedantycznym, powinieneś pisać
∂fa∂x( x ) = 2 x
Gorzej jest w przypadku wielu wymiarów, kiedy pochodna przyjmuje dwa argumenty, jeden to pochodna pochodnej, a drugi to kierunek, w którym oceniasz pochodną, która wygląda jak
∇xf(v)
ale ludzie bardzo szybko stają się leniwi i zaczynają odrzucać jeden lub drugi argument, pozostawiając ich zrozumiałymi z kontekstu.
Profesjonalni matematycy, języki mocno w policzek, nazywają to nadużyciem notacji . Istnieją tematy, w których wyrażanie siebie byłoby niemożliwe bez nadużywania notacji, czego przykładem jest moja ukochana geometria różnicowa . Wielki Nicolas Bourbaki wyraził to bardzo elokwentnie
W miarę możliwości zwróciliśmy uwagę w tekście na nadużycia językowe, bez których żaden tekst matematyczny niesie ryzyko pedanterii, nie mówiąc o nieczytelności.
- Bourbaki (1988)
Komentujesz nawet nadużycie notacji, w którą wpadłem, nawet sam tego nie zauważając!
Technicznie, ponieważ napisałeś df / dx jako pochodną cząstkową, nawet jeśli inne zmienne implikowane byłyby utrzymywane jako stałe, to czy cząstkowa pochodna nie byłaby technicznie funkcją wszystkich zmiennych pierwotnej funkcji, tak jak w df / dx ( x, y, ...)?
Masz całkowitą rację, a to daje dobrą (niezamierzoną) ilustrację tego, o co mi chodzi.
W mojej codziennej pracy i studiach spotykam pochodną w sensie jednej zmiennej tak rzadko, że w zasadzie zapomniałem, że jest tutaj poprawnym zapisem. Zamierzałem, aby powyższe dotyczyło funkcji jednej zmiennej, ale nieświadomie zasygnalizowałem inaczej przez użycie . ∂dfdx∂
Myślę, że myślę o tym tak, jak kiedy mówimy „nieskończona suma” zamiast „granicy sumy, gdy liczba terminów zbliża się do nieskończoności”. Myślę, że jest w porządku, o ile różnica koncepcyjna jest wyraźna. W tym przypadku (regresja wielokrotna) nie byłem do końca pewien, o czym mówiliśmy.
Tak, to spójny sposób myślenia o tym. Jedyną prawdziwą różnicą jest to, że mamy tak powszechną sytuację, że wymyśliliśmy dodatkową (*) notację i terminologię ( i „nieskończona suma”), aby to wyrazić. W innych przypadkach możemy uogólniać koncepcję, a następnie, że uogólnione pojęcie staje się tak powszechne, że ponowne wykorzystanie starego zapisu lub terminologii uogólnionego pojęcia.Σ
Jako leniwi ludzie chcemy oszczędzać słowa w typowych przypadkach.
(*) Historycznie nie tak powstały nieskończone sumy. Granica definicji sum częściowych została opracowana a posteriori, gdy matematycy zaczęli napotykać sytuacje, w których konieczne było bardzo precyzyjne uzasadnienie.
„Liniowy” nie oznacza dokładnie, jak myślisz, co robi w tym kontekście - jest nieco bardziej ogólny
Po pierwsze, tak naprawdę nie jest to odniesienie do liniowości x, ale do parametrów * („liniowy w parametrach”).
Po drugie, funkcja liniowa w sensie algebry liniowej jest zasadniczo mapą liniową; jest funkcją liniową w -space.βE(Y|X)=Xβ β
Zatem płaszczyzna (lub bardziej ogólnie hiperpłaszczyzna) najlepszego dopasowania jest nadal „regresją liniową”.
źródło