Średnia odwrotnego rozkładu wykładniczego

11

Biorąc pod uwagę zmienną losową , jaka jest średnia i wariancja G = 1Y=Exp(λ) ?G=1Y

Patrzę na odwrotny rozkład gamma, ale średnia i wariancja są zdefiniowane tylko odpowiednio dla i α > 2 ...α>1α>2

Diogo Santos
źródło

Odpowiedzi:

9

Biorąc pod uwagę, że odwrotny rozkład wykładniczy ma , natknąłeś się na fakt, że średnia odwrotnego wykładniczego wynosi . Dlatego też wariancja odwrotności wykładniczej jest niezdefiniowana.α=1

Jeśli jest odwrotnością rozkładu wykładniczego, to E ( G r ) istnieje i jest skończone dla r < 1 , a = dla r = 1 .GE(Gr)r<1=r=1

Mark L. Stone
źródło
Jest to związane z moim pytaniem tutaj
Diogo Santos
3

Pokażę obliczenie średniej rozkładu wykładniczego, aby przywołało cię podejście. Następnie wybiorę odwrotny wykładniczy z tym samym podejściem.

Biorąc pod uwagę fY(y)=λeλy

E[Y]=0yfY(y)dy

=0yλeλydy

=λ0yeλydy

Całkowanie przez część (na razie zignoruj przed całką),λ

u=y,dv=eλydy

du=dy,v=1λeλy

=y1λeλy01λeλydy

=y1λeλy+1λ0eλydy

=y1λeλy1λ2eλy

Pomnóż przez przed całką,λ

=yeλy1λeλy

Oszacuj dla i ,0

=(00)1λ(01)

=λ1

Które są znanymi wynikami.

G=1Y

E[G]=E[1Y]=01yfY(y)dy

=01yλeλydy

=λ01yeλydy

Główną różnicą jest to, że w przypadku integracji częściami

u=y1

i

du=1y2

G=1y

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

α=1α>2

Étienne Vanasse
źródło
1
exp(λy)0y00ϵ1ydyϵ>0E[G]
0

Po szybkiej symulacji (w R) wydaje się, że średnia nie istnieje: wprowadź opis zdjęcia tutaj

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Dla porównania, oto co dzieje się z prawdziwą wykładniczą zmienną losową.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

RUser4512
źródło
5
Średnia nie może istnieć, ponieważ wykładnicza ma gęstość dodatnią w dowolnym sąsiedztwie zera.
whuber
@ whuber rzeczywiście to właśnie starałem się podkreślić: środek empiryczny nie jest zbieżny dla odwrotności prawa wykładniczego, podczas gdy robi to dla prawa wykładniczego.
RUser4512,
5
101000