Rozważ 3 próbki pobrane z rozkładu jednolitego , gdzie jest parametrem. Chcę znaleźć
gdzie to statystyka zamówień .u(θ,2θ)θ
E [X( 2 )|X( 1 ),X( 3 )]
X( i )ja
Spodziewałbym się, że wynikiem będzie
Ale jedynym sposobem na pokazanie tego wyniku wydaje się być zbyt długo, nie mogę wymyślić prostego rozwiązania, czy coś mi brakuje, czy jest jakiś skrót?
E [X( 2 )|X( 1 ),X( 3 )] =X( 1 )+X( 3 )2)
Co robię to:
Znajduję gęstość warunkową
fa(x( 2 )|x( 1 ),x( 3 )) =fa(x( 1 ),x( 2 ),x( 3 ))fa(x( 1 ),x( 3 ))
Integruję
E [X( 2 )|X( 1 ),X( 3 )] =∫x f( x |x( 1 ),x( 3 )) dx
Detale:
Przyjmuję ogólną formułę statystyki gęstości zamówień (z wskaźnikiem zbioru )ja{ A }ZA
fax( 1 ), ... ,x( n )(x1, ⋯ ,xn) = n !∏i = 1nfax(xja)ja{x( 1 )≤x( 2 )≤ ⋯ ≤x( n )}(x1, ⋯ ,xn)
uzyskać dla mojej sprawy
fax( 1 ),x( 2 ),x( 3 )(x1,x2),x3)) = 3 !1θ3)ja{x1≤x2)≤ ⋯ ≤xn}(x1, ⋯ ,x3))
marginalny z jestfax( 1 ),x( 3 )( u , v )
fax( 1 ),x( 3 )( u , v ) = ∫fax( 1 ),x( 2 ),x( 3 )( u ,x2), v ) dx2)
to jest
fax( 1 ),x( 3 )( u , v ) = ∫3 !1θ3)ja{x1= u ≤x2)≤x3)= v }( u , x , v ) dx = 3 !1θ3)[ v - u ]
dlatego
fa(x( 2 )|x( 2 )= U ,x( 3 )= v ) =fa(x( 1 )= U ,x( 2 ),x( 3 )= v )fa(x( 1 )= U ,x( 3 )= v )=3 !1θ3)jau ≤x2)≤ ⋯ ≤ v( u ,x2), v )3 !1θ3)[ v - u ]= [ v - u]- 1ja{ u <x2)< v }
co daje
E [X( 2 )|X( 1 )= U ,X( 3 )= v ] = [ v - u]- 1∫vux dx = [ v - u]- 1[v2)-u2)]2)=u + v2)
Odpowiedzi:
Ponieważ wszystkie mają rozkład równomierny, wszystkie zmienne (nieuporządkowane) są przyjmowane jako niezależne, a żadna inna statystyka rzędu nie znajduje się między a , ma skrócony jednolity rozkład obsługiwane w przedziale . Jego średnia to oczywiście , QED.Xja X( 1 ) X( 3 ) X( 2 ) [X( 1 ),X( 3 )] (X( 1 )+X( 3 )) / 2
Jeśli chcesz formalnej demonstracji, zwróć uwagę, że gdy mają dokładnie ciągły rozkład , gęstość warunkowa ( zależna od wszystkich innych statystyk rzędu) wynosi , który jest rozkładem obciętym. (Gdy , przyjmuje się jako ; a gdy , przyjmuje się jako ). Wynika to ze Wspólnego pdf funkcji porządku na przykład statystyki wraz z definicją gęstości warunkowych.Xja fa X( k ) refa(xk) / ( F(x( k + 1 )) - F(x( k - 1 )) ) k = 1 fa(x0) 0 k = n fa(xn + 1) 1
źródło