Łatwiejszy sposób na znalezienie ?

9

Rozważ 3 próbki pobrane z rozkładu jednolitego , gdzie jest parametrem. Chcę znaleźć gdzie to statystyka zamówień .u(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

Spodziewałbym się, że wynikiem będzie Ale jedynym sposobem na pokazanie tego wyniku wydaje się być zbyt długo, nie mogę wymyślić prostego rozwiązania, czy coś mi brakuje, czy jest jakiś skrót?

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2

Co robię to:

  • Znajduję gęstość warunkową

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • Integruję

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

Detale:

Przyjmuję ogólną formułę statystyki gęstości zamówień (z wskaźnikiem zbioru )I{A}A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

uzyskać dla mojej sprawy

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

marginalny z jestfx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

to jest

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

dlatego

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

co daje

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2
im
źródło
Nie spojrzałem na to, co zrobiłeś, ale dostałeś odpowiedź , a nieuv2u+v2
Mark L. Stone
@ MarkL.Stone masz rację ... Naprawiłem to, że ostatnia linia, całka z była niepoprawna. xdx
im

Odpowiedzi:

5

Ponieważ wszystkie mają rozkład równomierny, wszystkie zmienne (nieuporządkowane) są przyjmowane jako niezależne, a żadna inna statystyka rzędu nie znajduje się między a , ma skrócony jednolity rozkład obsługiwane w przedziale . Jego średnia to oczywiście , QED.XiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2


Jeśli chcesz formalnej demonstracji, zwróć uwagę, że gdy mają dokładnie ciągły rozkład , gęstość warunkowa ( zależna od wszystkich innych statystyk rzędu) wynosi , który jest rozkładem obciętym. (Gdy , przyjmuje się jako ; a gdy , przyjmuje się jako ). Wynika to ze Wspólnego pdf funkcji porządku na przykład statystyki wraz z definicją gęstości warunkowych.XiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1F(x0)0k=nF(xn+1)1

Whuber
źródło
kiedy piszesz , odnosisz się do gęstości prawdopodobieństwa X, czy mam rację? dF(xk)
im
1
Tak to jest poprawne. Z definicji (Technicznie powinienem to nazwać „elementem prawdopodobieństwa”, a nie „gęstością”.)
dF(x)=dFdx(x)dx.
whuber