Zbadaj istotną różnicę w stosunkach normalnie rozłożonych zmiennych losowych

Związane z analizowaniem stosunków zmiennych i jak sparametryzować stosunek dwóch normalnie rozłożonych zmiennych lub odwrotność jednej? .

Załóżmy, że mam szereg próbek z czterech różnych ciągłych rozkładów losowych, z których wszystkie możemy założyć, że są w przybliżeniu normalne. W moim przypadku odpowiadają one niektórym miernikom wydajności dwóch różnych systemów plików (powiedzmy ext4 i XFS), zarówno z szyfrowaniem, jak i bez. Metryką może być na przykład liczba plików tworzonych na sekundę lub średnie opóźnienie dla niektórych operacji na plikach. Możemy założyć, że wszystkie próbki pobrane z tych rozkładów zawsze będą ściśle dodatnie. Nazwijmy te dystrybucje gdzie i .$\textrm{Perf}_{fstype,encryption}$$fstype \in \{xfs,ext4\}$$encryption \in \{crypto,nocrypto\}$

Moja hipoteza jest taka, że ​​szyfrowanie spowalnia jeden z systemów plików o wiele większy czynnik niż drugi. Czy istnieje jakiś prosty test dla hipotezy ?$\frac{E[\textrm{Perf}_{xfs,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{xfs,nocrypto}]} < \frac{E[\textrm{Perf}_{ext4,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{ext4,nocrypto}]}$

Jedną z alternatyw dla dobrej odpowiedzi StasK jest użycie testu permutacji. Pierwszym krokiem jest zdefiniowanie statystyki testowej , być może:$T$

$T = \frac{\widehat{Perf}_{ext4,crypto}}{\widehat{Perf}_{ext4,nocrypto}} - \frac{\widehat{Perf}_{xfs,crypto}}{\widehat{Perf}_{xfs,nocrypto}}$

gdzie to być może przykładowa średnia z obserwacji itp. (To pasuje do twojej definicji hipotezy jako stosunku oczekiwania zamiast alternatywnej możliwości oczekiwania na stosunek - która alternatywa może być tym, czego naprawdę chcesz). Drugim krokiem jest wielokrotne losowe permutowanie etykiet w danych wiele razy, powiedzmy, i oblicz dla każdej permutacji. Ostatnim krokiem jest porównanie oryginalnej z zaobserwowanym ; wartość p permutacji szacowana byłaby frakcja . $\widehat{Perf}_{ext4,crypto}$$\text{Perf}_{ext4,crypto}$$ext4, \space xfs$$i=1, \dots, 10000$$T_i$$T$$T_i$$T_i \leq T$

Test permutacji uwalnia cię od polegania na asymptotyce, ale oczywiście w zależności od wielkości twojej próbki (i oczywiście także danych), metoda delta, której również czasami używam, może działać dobrze.

Możesz obliczyć (asymptotyczny) błąd standardowy współczynnika za pomocą metody delta . Jeśli masz dwie losowe zmienne i takie, że w dystrybucji (co byłoby w przypadku, gdy masz niezależne dane, ale miałoby to również bardziej ogólny przypadek dane klastrowane, gdy przeprowadziłeś testy na różnych komputerach), a następnie dla stosunku z analogiem populacji , mamy $X$$Y$

$$\sqrt{n}\left(\begin{array}{c} \bar X-\mu_X \\ \bar Y-\mu_Y\end{array}\right) \rightarrow N\left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right), \left( \begin{array}{cc} \sigma_{XX} & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{YY} \end{array} \right) \right)$$ $r=\bar Y/\bar X$$r_o = \mu_Y/\mu_X$ $$\sqrt{n}(r-r_0) \to N(0,\frac{\mu_Y^2}{\mu_X^4}\sigma_{XX} - 2\frac{\mu_Y}{\mu_X^3}\sigma_{XY} + \frac1{\mu_X^2}\sigma_{YY})$$ Jeśli i są niezależne, co można rozsądnie założyć w twoim przypadku, to wyrażenie nieco upraszcza, upuszczając , więc otrzymujemy, że kwadratowe współczynniki wariantów sumują się: Ma dodatkową zaletą jest to, że rozmiary próbek mogą się różnić. Ponadto, jeśli RHS i LHS są niezależne, można tworzyć -test Statystyka dla$X$$Y$$\sigma_{XY}$ $${\rm CV}^2[r] = {\rm CV}^2[\bar X] + {\rm CV}^2[\bar Y]$$ $z$$H_0:$ bez różnicy, biorąc różnicę współczynników i dzieląc ją przez odpowiedni błąd standardowy uzyskany z tych CV.

Mam nadzieję, że możesz wziąć to stamtąd i wykonać pozostałe obliczenia koperty, aby uzyskać ostateczną formułę.

Należy zauważyć, że wynik jest asymptotyczny, a stosunek jest tendencyjnym estymatorem w małych próbkach. Odchylenie ma rząd i zanika asymptotycznie w porównaniu ze zmiennością próbkowania, która jest rzędu .$r$$r_0$$O(1/n)$$O(1/\sqrt{n})$

Stosunek normalnych zmiennych jest rozkładem Cauchy'ego. Wiedząc o tym, możesz po prostu wykonać test Bayes Factor Test.

To był raczej spontaniczny pomysł. Nie jestem teraz pewien mechanizmu generowania danych. Czy instalujesz różne systemy plików na tym samym komputerze, a następnie porównujesz dwa przypadki, abyśmy mogli przyjąć hierarchiczną strukturę danych?

Nie jestem też pewien, czy proporcje szukania mają sens.

A potem napisałeś stosunek wartości oczekiwanych, podczas gdy myślałem o wartości oczekiwanej współczynników. Chyba potrzebuję więcej informacji na temat generowania danych przed przejściem dalej.

W przypadkach, w których nie można wykonać permutacji, na przykład gdy wielkość próbki stwarza miliony możliwości, innym rozwiązaniem byłoby ponowne próbkowanie Monte Carlo.

Hipotezą zerową jest to, że nie ma różnicy w szybkości między i , dla i . Dlatego średni stosunek wszystkich próbek nie różni się od .$ext4$$xfs$$nocrypto$$crypto$$\frac{ext4}{xfs}$$nocrypto$$crypto$

$H_{0}:T_{observed}=\frac{\sum x_{nocrypto} }{n_{nocrypto}}-\frac{\sum x_{crypto} }{n_{crypto}}=0$

gdzie $x=\frac{ext4}{xfs}$

i $n=sample\, size$

Jeśli jest prawdziwe, losowe wybieranie wyników dla współczynników lub spowoduje również . Można by obliczyć:$H_{0}$$nocrypto$$crypto$$T_{observed}=0$

$T_{resampling}=\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{nocrypto}}-\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{crypto}}$

i wykonajmy powiedzmy 10 000 rund ponownego próbkowania. Wynikowy rozkład wartości jest przedziałem ufności dla . Różnica między a współczynnikiem jest znacząca, jeżeli obliczona wartość leży poza zakresem np. 95% wartości .$T_{resampling}$$H_{0}$$nocrypto$$crypto$$T_{observed}$$(p < 0.05)$$T_{resampling}$