Mam zamiar przedstawić standardową tabelę normalną w mojej klasie wprowadzającej i zastanawiam się: kto stworzył pierwszą standardową tabelę normalną? Jak to zrobili, zanim pojawiły się komputery? Drżę na myśl o kimś brutalnym, który ręcznie oblicza tysiąc sum Riemanna.
normal-distribution
algorithms
history
tables
Daniel Smolkin
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Laplace jako pierwszy rozpoznał potrzebę tabelaryczną, przedstawiając przybliżenie:
Pierwszy nowoczesny stół o rozkładzie normalnym został później zbudowany przez francuskiego astronoma Christiana Krampa w Analyze des Réfractions Astronomiques et Terrestres (Par le citoyen Kramp, Professeur de Chymie et de Physique expérimentale à l'école centrale du Département de la Roer, 1799) . Z tabel związanych z normalnym rozkładem: krótka historia Autor (autorzy): Herbert A. David Źródło: The American Statistician, t. 59, nr 4 (listopad 2005), s. 309–311 :
Ale ... jak dokładny mógłby być? OK, weźmy2.97 jako przykład:
Niesamowity!
Przejdźmy do nowoczesnego (znormalizowanego) wyrażenia gaussowskiego pdf:
Fantastyczny!
Tak blisko...
Chodzi o to ... jak dokładnie dokładnie? Po wszystkich otrzymanych głosach nie mogłem pozostawić faktycznej odpowiedzi zawieszonej. Problem polegał na tym, że wszystkie aplikacje optycznego rozpoznawania znaków (OCR), które wypróbowałem, były niesamowicie wyłączone - nic dziwnego, jeśli spojrzałeś na oryginał. Nauczyłem się więc doceniać Christiana Krampa za wytrwałość jego pracy, kiedy osobiście wpisałem każdą cyfrę w pierwszej kolumnie jego Premiery stołowej .
Po cennej pomocy @Glen_b, teraz może być bardzo dokładna i jest gotowa do skopiowania i wklejenia na konsoli R w tym łączu GitHub .
Oto analiza dokładności jego obliczeń. Przygotuj się...
mean(abs(difference))
zdifference = R - kramp
:Na wejściu, w którym jego obliczenia były najbardziej rozbieżne w porównaniu z [R], pierwsza inna wartość miejsca dziesiętnego znajdowała się na ósmej pozycji (setna milionowa). Średnio (mediana) jego pierwszy „błąd” był w dziesiątej cyfrze dziesiętnej (dziesiąta miliardowa!). I chociaż w żadnym wypadku nie do końca zgadzał się z [R], najbliższy wpis nie różni się aż do trzynastu cyfrowych wpisów.
mean(abs(R - kramp)) / mean(R)
(taka sama jakall.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)
):sqrt(mean(difference^2))
:Jeśli znajdziesz zdjęcie lub portret Chistian Kramp, edytuj ten post i umieść go tutaj.
źródło
Według HA Davida [1] Laplace uznał potrzebę tabel rozkładu normalnego „już w 1783 r.”, A pierwszy stół normalny został opracowany przez Krampa w 1799 r.
Jednak Kramp nie używał tych serii Laplace'a, ponieważ w odstępach czasowych można było je z powodzeniem zastosować.
Konkretnie, cytując kilka zdań:
David wskazuje, że tabele były szeroko stosowane.
Więc zamiast tysięcy sum Riemanna były to setki ekspansji Taylora.
Z drugiej strony, w skrócie (utknąłem tylko z kalkulatorem i kilkoma zapamiętanymi wartościami ze zwykłej tabeli) całkiem skutecznie zastosowałem regułę Simpsona (i powiązane reguły integracji numerycznej), aby uzyskać dobre przybliżenie innych wartości; to nie wszystko , że żmudne produkować skróconej tabeli * do kilku figur dokładnością. [Opracowanie tabel skali i dokładności Krampa byłoby jednak dość dużym zadaniem, nawet przy użyciu mądrzejszej metody, tak jak on.]
* Przez tabelę skróconą mam na myśli taką, w której można w zasadzie uniknąć interpolacji między wartościami tabelarycznymi bez utraty zbyt dużej dokładności. Jeśli chcesz tylko powiedzieć około 3 dokładności rysunku naprawdę nie trzeba obliczyć wszystko że wiele wartości. Skutecznie zastosowałem interpolację wielomianową (a dokładniej zastosowałem techniki różnic skończonych), co pozwala na utworzenie tabeli z mniejszą liczbą wartości niż interpolacja liniowa - jeśli nieco więcej wysiłku na etapie interpolacji - a także dokonałem interpolacji z transformacją logit, która sprawia, że interpolacja liniowa jest znacznie bardziej skuteczna, ale jest przydatna tylko wtedy, gdy masz dobry kalkulator).
[1] Herbert A. David (2005),
„Tabele związane z rozkładem normalnym: krótka historia”
The American Statistician , t. 59, nr 4 (listopad), s. 309–311
[2] Kramp (1799),
Analyze des Réfractions Astronomiques et Terrestres,
Lipsk: Schwikkert
źródło
Ciekawy problem! Myślę, że pierwszy pomysł nie powstał dzięki integracji złożonej formuły; raczej wynik zastosowania asymptotyków w kombinatoryce. Metoda pióra i papieru może potrwać kilka tygodni; nie tak trudne dla Karla Gaussa w porównaniu do obliczania ciasta dla jego poprzedników. Myślę, że pomysł Gaussa był odważny; obliczenia były dla niego łatwe.
Przykład tworzenia od podstaw standardowej tabeli z
1. Weź populację liczb n (powiedzmy, że 20) i wypisz z niej wszystkie możliwe próbki wielkości r (powiedzmy, że 5).
2. obliczyć średnie próbki. Otrzymujesz średnie próbki nCr (tutaj 20c5 = 15504 oznacza).
3. Ich średnia jest taka sama jak średnia populacji. Znajdź standardową próbkę środków.
4. Znajdź wyniki z średnich z próby za pomocą tych średnich pop i średnich z próbek.
5. Sortuj zw kolejności rosnącej i znajdź prawdopodobieństwo, że z znajdzie się w zakresie wartości nCr.
6. Porównaj wartości z normalnymi tabelami. Mniejszy n jest dobry do obliczeń ręcznych. Większe n spowoduje uzyskanie przybliżonych przybliżeń normalnych wartości w tabeli.
Poniższy kod znajduje się w:
Prawdopodobieństwo, że z spadnie między 0 a wartością dodatnią q poniżej; porównaj ze znaną tabelą. Manipuluj q poniżej między 0 a 3,5, aby porównać.
źródło