Dlaczego

Na tej stronie głównej AP Zmienne losowe a zmienne algebraiczne autor Peter Flanagan-Hyde rozróżnia zmienne algebraiczne i losowe.

Po części mówi

, ale X + X ≠ 2 $x + x = 2x$$X + X \neq 2X$

- w rzeczywistości jest to podtytuł artykułu.

Jaka jest podstawowa różnica między zmienną algebraiczną a zmienną losową?

Więc najpierw odpowiedzmy na to pytanie: „Jaka jest podstawowa różnica między zmienną algebraiczną a zmienną losową?”

Zmienna losowa wcale nie jest zmienną algebraiczną. Formalnie, proces ten określa się jako funkcję z przestrzeni prawdopodobieństwo Ohm do badań .$X$$\Omega$$\mathbb R$

OK ... To tak naprawdę oznacza, że ​​wykonujesz losowe eksperymenty (np. Rzucasz kostką, wybierasz losowego człowieka) i dokonujesz pomiarów na tych eksperymentach (np. Liczba na górnej powierzchni kości, wzrost, płeć, poziom cholesterolu u człowieka ). Zestaw jest zbiorem wszystkich możliwych eksperymentów. Podczas określonego eksperymentu ω ∈ Ω dokonuje się pomiaru$\Omega$$\omega\in\Omega$ : Dlatego formalnie jest to funkcja z Ohm do badań .$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

Teraz generalnie całkowicie zapominamy o . Zmienne losowe są zdefiniowane w oparciu o ich prawo prawdopodobieństwa. W przypadku uczciwej kości po prostu mówisz$\Omega$

• dlak=1,…,$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$ (prawdopodobieństwo równe k wynosi 1/6 dla k od 1 do 6),$X$$k$$k$

zamiast

• (zbiór rzutów kostkami, na którym miara X - górna powierzchnia - k ma prawdopodobieństwo 1/6) ...$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$$k$

To jest prostsze. Możesz nawet całkowicie uniknąć przeszkadzania uczniom za pomocą .$\Omega$

Mam nadzieję, że to rzuca jakieś światło.

Otóż, ten facet rozumie przez nie to, że suma takiej miary z samym sobą nie jest dwukrotnością tej miary - niestety, to jest to, co pisze. Ma na myśli to, że suma dwóch takich miar, przeprowadzonych w różnych eksperymentach, nie ma tego samego prawa, co dwukrotność miary. Można to zapisać jako X 1 ∼ X 2 ⇏ X 1 + X 2 ∼ 2 X 1 (fakt, że X 1 i X 2 mają taki sam rozkład, nie oznacza, że X 1$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$ ma taki sam rozkład jak 2 X 1 ).$X_1 + X_2$$2 X_1$

[Wcześniejsza wersja pytania wymagała odpowiedzi, która całkowicie pomijała matematykę; ta odpowiedź była próbą motywacji intuicyjnej, na poziomie podobnym do pytanego dokumentu.]

$X+X\neq 2X$

W przykładzie $X$

$X$$X+X$

Później na stronie jest napisane:

$T$$T = X + X$$T$$T$

$X$$T$$T$$T$ była wynikiem dwóch wystąpień sobie). Ale z tą wymianą nadal jest niepoprawna.

Jeśli masz dwa niezależne przypadki eksperymentu (rzuć kostką, zapisz liczbę pokazującą), z którym masz do czynienia dwiema różnymi zmiennymi losowymi.

$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[Jest to doskonała dyskusja o whuber zmiennych losowych (i sum nich) tutaj , a pojęcie zmiennych losowych pokryta jest nieco bardziej szczegółowo (jeśli w miejscach bardziej techniczny) tutaj . Polecam przynajmniej przeczytać odpowiedź przy pierwszym linku.]

Ten problem pojawił się, ponieważ autor pomylił zmienną losową z jej rozkładem. Możesz to zobaczyć tutaj:

W tym przypadku uczniowie uważają, że zmienna losowa X reprezentuje pojedynczą, nieznaną wartość, w taki sam sposób, w jaki myślą o zmiennych algebraicznych. Ale X naprawdę odnosi się do rozkładu możliwych wartości i związanych z nimi prawdopodobieństw.

Wyraźnie łączy zmienną losową z jej rozkładem.

$X+X$$2X$

$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

$X$$X$$one$

$X+X=2X$