Czy dwa kwantyle rozkładu beta określają jego parametry?

Jeśli podam dwa kwantyle i odpowiadające im lokalizacje (każdy) w przedziale otwartym , czy zawsze mogę znaleźć parametry rozkładu beta, który ma te kwantyle w określonych lokalizacjach?$(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

Odpowiedź brzmi tak, pod warunkiem, że dane spełniają oczywiste wymagania dotyczące spójności. Argument jest prosty, oparty na prostej konstrukcji, ale wymaga pewnej konfiguracji. Sprowadza się to do intuicyjnie interesującego faktu: zwiększenie parametru w rozkładzie Beta zwiększa wartość jego gęstości (PDF) bardziej dla większych niż mniejszych ; a zwiększenie robi coś przeciwnego: im mniejsze , tym bardziej rośnie wartość pliku PDF.$a$$(a,b)$$x$$x$$b$$x$

Szczegóły podano poniżej.

Niech pożądanym kwantylem będzie a pożądanym kwantylem będzie z i (dlatego) . Wtedy istnieje unikalna i , dla których Beta podział ma te quantiles.$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$$1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$$a$$b$$(a,b)$

Trudność z wykazaniem tego polega na tym, że rozkład Beta obejmuje oporną stałą normalizującą. Przypomnijmy definicję: dla i rozkład Beta ma funkcję gęstości (PDF)$a\gt 0$$b \gt 0$$(a,b)$

Stałą normalizującą jest funkcja Beta

Wszystko staje Messy jeśli spróbujemy do odróżnienia bezpośrednio w odniesieniu do i , co byłoby sposobem brute force próba demonstracji.$f(x;a,b)$$a$$b$

Jednym ze sposobów uniknięcia konieczności analizowania funkcji Beta jest zwrócenie uwagi, że kwantyle to obszary względne . To jest,

dla . Oto, na przykład, PDF i funkcja dystrybucji skumulowanej (CDF) rozkładu Beta dla których i .$i=1,2$$F$$(1.15, 0.57)$$x_1=1/3$$q_1=1/6$

Funkcja gęstości jest wykreślona po lewej stronie. to obszar pod krzywą po lewej stronie , pokazany na czerwono, w stosunku do całkowitego obszaru pod krzywą. jest obszarem po lewej stronie , równym sumie obszarów czerwonych i niebieskich, ponownie w stosunku do całkowitego obszaru . CDF po prawej pokazuje, jak i zaznaczają na nim dwa odrębne punkty.$x\to f(x;a,b)$$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$(x_1,q_1)$$(x_2,q_2)$

Na tym rysunku ustalono na , wybrano na , a następnie znaleziono wartość dla której leży na Beta CDF.$(x_1,q_1)$$(1/3,1/6)$$a$$1.15$$b$$(x_1,q_1)$$(a,b)$

Lemma : Takie zawsze można znaleźć.$b$

Mówiąc konkretnie, niech zostanie naprawione raz na zawsze. (Pozostają takie same na poniższych ilustracjach: we wszystkich trzech przypadkach względny obszar po lewej stronie jest równy .) Dla dowolnego Lemma twierdzi, że istnieje unikalna wartość , zapisana dla których jest kwantylem rozkładu Beta .$(x_1, q_1)$$x_1$$q_1$$a\gt 0$$b$$b(a),$$x_1$$q_1$$(a,b(a))$

Aby zobaczyć dlaczego, zauważ najpierw, że gdy zbliża się do zera, wszystkie prawdopodobieństwa zbliżają się do wartości , skąd zbliża się do . Gdy zbliża się do nieskończoności, wszystkie prawdopodobieństwa zbliżają się do wartości , skąd zbliża się do . W międzyczasie funkcja ściśle rośnie .$b$$0$$F(x_1;a,b)$$1$$b$$1$$F(x_1;a,b)$$0$$b\to F(x_1;a,b)$$b$

To twierdzenie jest geometrycznie oczywiste: sprowadza się do powiedzenia, że ​​jeśli spojrzymy na obszar po lewej stronie pod krzywą stosunku do całkowitego pola pod krzywą i porównaj to do względnego obszaru pod krzywą dla , to ten drugi obszar jest stosunkowo większy. Stosunek tych dwóch funkcji wynosi . Jest to funkcja równa gdy stopniowo spada do gdy Dlatego wysokości funkcji są stosunkowo większe$x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$$b^\prime \gt b$$(1-x)^{b^\prime-b}$$1$$x=0,$$0$$x=1.$$x\to f(x;a,b^\prime)$niż wysokości od dla na lewo od niż dla na prawo od W związku z tym obszar po lewej stronie w pierwszym musi być stosunkowo większy niż obszar po prawej stronie (Można to na przykład łatwo przełożyć na rygorystyczny argument przy użyciu sumy Riemanna).$x\to f(x;a,b)$$x$$x_1$$x$$x_1.$$x_1$$x_1.$

Zauważyliśmy, że funkcja rośnie ściśle monotonicznie z wartościami granicznymi odpowiednio i jako i . Jest także (wyraźnie) ciągły. W związku z tym istnieje liczba gdzie a liczba ta jest unikalna, co potwierdza lemat.$b\to f(x_1;a,b)$$0$$1$$b\to 0$$b\to\infty,$$b(a)$$f(x_1;a,b(a))=q_1$

Ten sam argument pokazuje, że wraz ze wzrostem zwiększa się obszar po lewej stronie . $b$$x_2$ W związku z tym wartości zakres, w pewnym odstępie od liczby jak postępuje od prawie do prawie Limit jako wynosi$f(x_2;a, b(a))$$a$$0$$\infty.$$f(x_2;a,b(a))$$a\to 0$$q_1.$

Oto przykład, w którym jest bliskie (wynosi ). Przy i (jak na poprzednim rysunku), Pomiędzy a prawie nie ma obszaru$a$$0$$0.1$$x_1=1/3$$q_1=1/6$$b(a) \approx 0.02.$$x_1$$x_2:$

CDF jest praktycznie płaski między a skąd jest praktycznie na szczycie W limicie jako ,$x_1$$x_2,$$q_2$$q_1.$$a\to 0$$q_2 \to q_1.$

Na drugim końcu, na tyle duże wartości prowadzą do dowolnie blisko Oto przykład z jak poprzednio.$a$$F(x_2;a,b(a))$$1.$$(x_1,q_1)$

Tutaj i jest prawie Teraz jest w zasadzie prawie nie ma obszar na prawo od$a=8$$b(a)$$10.$$F(x_2;a,b(a))$$1:$$x_2.$

W związku z tym możesz wybrać dowolną między a i regulować aż Podobnie jak poprzednio, to musi być unikalny, QED .$q_2$$q_1$$1$$a$$F(x_2;a,a(b))=q_2.$$a$

RKod roboczy znajdujący rozwiązania jest publikowany w części Określanie parametrów dystrybucji beta i z dwóch dowolnych punktów (kwantyli)$\alpha$$\beta$ .