Jak wartość oczekiwana odnosi się do średniej, mediany itp. W rozkładzie nienormalnym?

Jak oczekiwana wartość ciągłej zmiennej losowej odnosi się do jej średniej arytmetycznej, mediany itp. W rozkładzie nienormalnym (np. Skośno-normalnym)? Interesują mnie wszelkie popularne / interesujące dystrybucje (np. Log-normal, proste dystrybucje bi / multimodalne, wszystko inne dziwne i wspaniałe).

Szukam głównie odpowiedzi jakościowych, ale wszelkie ilościowe lub formalne odpowiedzi są również mile widziane. W szczególności chciałbym zobaczyć wszelkie wizualne reprezentacje, które to wyjaśnią.

(częściowo przekonwertowany z mojego teraz usuniętego komentarza powyżej)

Oczekiwana wartość i średnia arytmetyczna są dokładnie tym samym. Mediana jest powiązana ze średnią w nietrywialny sposób, ale możesz powiedzieć kilka rzeczy na temat ich relacji:

• gdy rozkład jest symetryczny, średnia i mediana są takie same

• gdy rozkład jest wypaczony ujemnie, mediana jest zwykle większa niż średnia

• gdy rozkład jest dodatnio wypaczony, mediana jest zwykle mniejsza niż średnia

Istnieje ładna zależność między harmoniczną, geometryczną i średnią arytmetyczną logarytmicznej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym . Pozwolić$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (średnia harmoniczna),
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (średnia geometryczna),
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (średnia arytmetyczna).

Nietrudno zauważyć, że iloczyn harmonicznej i średniej arytmetycznej daje kwadrat średniej geometrycznej, tj.

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

Ponieważ wszystkie wartości są dodatnie, możemy wziąć pierwiastek kwadratowy i stwierdzić, że średnia geometryczna jest średnią geometryczną średniej harmonicznej i średniej arytmetycznej$X$$X$$X$ , tj.

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

Ponadto, dobrze znana nierówność HM-GM-AM

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

można wyrazić jako

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

gdzie to wariancja geometryczna.$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

Dla kompletności istnieją również rozkłady, dla których średnia nie jest dobrze zdefiniowana. Klasycznym przykładem jest rozkład Cauchy'ego ( ta odpowiedź zawiera ładne wyjaśnienie dlaczego). Innym ważnym przykładem jest rozkład Pareto z wykładnikiem mniejszym niż 2.

Chociaż prawdą jest, że średnia matematyczna i wartość oczekiwana są zdefiniowane identycznie, w przypadku przekrzywionego rozkładu ta konwencja nazewnictwa wprowadza w błąd.

Wyobraź sobie, że pytasz przyjaciółkę o ceny mieszkań w jej mieście, ponieważ naprawdę Ci się tam podoba i naprawdę myślisz o przeprowadzce do tego miasta.

Jeśli podział nagród mieszkaniowych byłby niejednoznaczny i symetryczny, wtedy twój przyjaciel może ci powiedzieć średnią cenę domów i rzeczywiście możesz spodziewać się, że większość domów na rynku znajdzie się wokół tej średniej wartości.

Jeśli jednak rozkład cen mieszkań jest niejednoznaczny i przekrzywiony, na przykład skośny w prawo z większością domów w dolnym przedziale cenowym po lewej stronie i tylko niektórymi wygórowanymi domami po prawej stronie, wówczas średnia zostanie „wypaczona” do wysokich cen na prawo.

W przypadku tego niejednoznacznego, skośnego rozkładu cen domów można oczekiwać, że większość domów na rynku znajdzie się wokół mediany .