Czy jest jakiś dowód na to, że CLT nie używa funkcji charakterystycznych, prostszej metody?
Może metody Tichomirowa lub Steina?
Coś samodzielnego, co możesz wyjaśnić studentowi uniwersytetu (pierwszy rok matematyki lub fizyki) i zajmuje mniej niż jedną stronę?
Odpowiedzi:
Możesz to udowodnić metodą Steina, jednak jest to dyskusyjne, jeśli dowód jest elementarny. Plusem metody Steina jest to, że dostajesz nieco słabszą formę granic Berry Esseen zasadniczo za darmo. Ponadto metoda Steina to czarna magia! Opis dowodu można znaleźć w sekcji 6 tego linku . W linku znajdziesz także inne dowody CLT.
Oto krótki zarys:
1) Wykazać, używając prostej całkowania przez części i normalnej gęstości rozkładu, że dla wszystkich ciągle różnicowalnych iff A jest rozkładem N ( 0 , 1 ) . Łatwiej pokazać normalny implikuje wynik i nieco trudniej pokazują coś przeciwnego, ale może to być zrobione na wierze.mifa′( A ) - Xfa( A ) = 0 ZA N.( 0 , 1 ) ZA
2) Ogólnie, jeśli dla każdego ciągłego różniczkowej f o f , f ' ograniczona, a X n jest zbieżny do N ( 0 , 1 ) w dystrybucji. Dowodem na to jest integracja części, z pewnymi sztuczkami. W szczególności musimy wiedzieć, że zbieżność w rozkładzie jest równoważna E g ( X n ) → Emifa( Xn) - Xnfa( Xn) → 0 fa fa, f′ Xn N.( 0 , 1 ) dla wszystkich ograniczonych funkcji ciągłych g . Naprawa g służy do przeformułowania:misol( Xn) → Esol( A ) sol sol
gdzie rozwiązuje się stosując podstawową teorię ODE, a następnie pokazuje, że f jest niezła. Tak więc, jeśli możemy znaleźć takie fajne f , z założenia rhs przyjmuje wartość 0, a więc i lewą stronę.fa fa fa
3) Na koniec udowodnij centralne twierdzenie graniczne dla gdzieXioznacza się ze średnią 0 i wariancją 1. To ponownie wykorzystuje lewę w kroku 2, gdzie dla każdegogznajdujemyftakie, że:Yn: = X1+ ⋯ + Xnn√ Xja sol fa
źródło
Oto jak bym to zrobił, gdybym był w liceum.
Weź dowolny rozkład prawdopodobieństwa o gęstości , uzyskaj jego średnią i wariancję μ x , σ 2 x . Następnie, w przybliżeniu jej zmiennej losowej Z , który ma następującą postać: z = μ x - σ x + 2 σ x ξ , gdzie ξ jest Bernoulliego zmienną losową z parametru p = 1 / 2 . Widać, że μ z = μ x ifa( x ) μx, σ2)x z
Teraz możemy spojrzeć na sumę = n ( μ x - σ x ) + 2 σ x n ∑ i = 1 ξ i
Można rozpoznać rozkładu dwumianowego tutaj: , gdzie η ~ B ( n , 1 / 2 ) . Nie potrzebujesz funkcji charakterystycznej, aby zobaczyć, że jest zbieżna z kształtem rozkładu normalnego .η= ∑ni = 1ξja η∼ B ( n , 1 / 2 )
W pewnym sensie można powiedzieć, że Bernoulli jest najmniej dokładnym przybliżeniem dla dowolnego rozkładu, a nawet zbiega się w normie.
Na przykład możesz pokazać, że chwile pasują do normy. Zdefiniujmy zmienną:y= ( Sn/ n- μx) n--√
źródło