Co to jest próbka zmiennej losowej?

Zmienna losowa jest definiowana jako funkcja mierzalna z jednej -algebra z bazową miarą do innej -algebra .σ ( Ω 1 , F 1 ) P σ ( Ω 2 , F 2$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Jak mówimy o próbce tej losowej zmiennej? Czy traktujemy to jako element z ? Lub jako taka sama mierzalna funkcja jak ?Ω 2$X^n$$\Omega_2$$X$

Gdzie mogę o tym przeczytać więcej?

Przykład:

W estymacji Monte Carlo dowodzimy bezstronności estymatora, biorąc pod uwagę próbki za funkcje. Jeśli oczekiwanie zmiennej losowej jest zdefiniowane jako$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

i zakładając, że są funkcjami, a , możemy postępować w następujący sposób:X n = $X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Gdyby był tylko elementem z , nie moglibyśmy napisać ostatniego zestawu równań.$X^n$$\Omega_2$

Próbkę jest mierzalną funkcję z do . Realizacja tej próbki jest wartością pobraną przez funkcję at , .$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Kiedy stwierdzam

zakładając, że są funkcjami, a$X^n$$X^n=X$

Funkcje są różnymi funkcjami, co oznacza, że ​​obrazy mogą być różne dla danego . Gdy próbka jest identyczna (niezależna i identycznie rozmieszczona), funkcje są różne z dwiema kolejnymi właściwościami$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. identyczny rozkład, co oznacza, że dla wszystkich mierzalnych zbiorów in ;$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. niezależność, co oznacza, że dla wszystkich mierzalnych zbiorów w$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

Twoja definicja

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

jest niepoprawny: tak powinno być

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

Próbkę można pobrać z populacji , a nie ze zmiennej losowej. „Próbka zmiennych losowych” to uproszczony sposób stwierdzenia, że ​​mamy próbkę pobraną z populacji, która zakłada, że ​​jest identycznie rozmieszczonymi zmiennymi losowymi. Taka próbka zachowuje się jak losowych zmiennych. Jest niejednoznaczny, ponieważ łączy w sobie terminologię stosowaną w prawdopodobieństwie i statystyce. To samo dotyczy symulacji, w której próbki są pobierane ze wspólnego rozkładu . W obu przypadkach próbką są danen $n$$n$$n$ty masz. Próbki są uważane za zmienne losowe, ponieważ losowe procesy prowadzą do ich rysowania. Są identycznie dystrybuowane, ponieważ pochodzą ze wspólnej dystrybucji. Do czynienia z próbkami mamy statystyki, podczas gdy statystyki używają abstrakcyjnego, matematycznego opisu problemów związanych z teorią prawdopodobieństwa, więc terminologia jest mieszana. Zmienne losowe to funkcje przypisujące prawdopodobieństwa do zdarzeń, które mogą wystąpić w twoich próbkach.