Szukam ograniczającego rozkładu wielomianowego w porównaniu do wyników d. IE, dystrybucja następujących
Gdzie jest losową zmienną o wartości wektorowej o gęstości dla taką, że , i 0 dla wszystkich innych , gdzie
Znalazłem jedną formę w Twierdzeniu Larry'ego Wassermana „All of Statistics” 14.6, strona 237, ale dla ograniczenia rozkładu daje Normal z pojedynczą macierzą kowariancji, więc nie jestem pewien, jak to znormalizować. Mógłbyś rzutować losowy wektor na przestrzeń wymiarową (d-1), aby uzyskać pełną rangę macierzy kowariancji, ale jakiej projekcji użyć?
Aktualizacja 11/5
Ray Koopman ma ładne podsumowanie problemu pojedynczego Gaussa. Zasadniczo pojedyncza macierz kowariancji reprezentuje idealną korelację między zmiennymi, której nie można przedstawić za pomocą Gaussa. Można jednak uzyskać rozkład Gaussa dla gęstości warunkowej, uwarunkowany faktem, że wartość wektora losowego jest poprawna (składowe sumują się do powyższym przypadku).
Różnica dla warunkowego Gaussa polega na tym, że odwrotność jest zastępowana pseudo-odwrotnością, a czynnik normalizacyjny używa „iloczynu niezerowych wartości własnych” zamiast „iloczynu wszystkich wartości własnych”. Ian Frisce podaje link do niektórych szczegółów.
Istnieje również sposób wyrażenia współczynnika normalizacji warunkowego Gaussa bez odwoływania się do wartości własnych, oto pochodna
źródło
Odpowiedzi:
Kowariancja jest nadal nieujemna określona (podobnie jak prawidłowy wielowymiarowy rozkład normalny ), ale nie jest dodatnia określona: oznacza to, że (przynajmniej) jeden element losowego wektora jest liniową kombinacją pozostałych.
W rezultacie każde losowanie z tego rozkładu zawsze będzie leżeć w podprzestrzeni . W konsekwencji oznacza to, że nie można zdefiniować funkcji gęstości (ponieważ rozkład koncentruje się na podprzestrzeni: pomyśl o tym, w jaki sposób jednowymiarowa norma skoncentruje się na średniej, jeśli wariancja wynosi zero).Rd
Jednak, jak sugeruje Robby McKilliam, w tym przypadku możesz upuścić ostatni element losowego wektora. Macierz kowariancji tego zredukowanego wektora będzie pierwotną macierzą, z opuszczoną ostatnią kolumną i rzędem, która będzie teraz dodatnia i będzie miała gęstość (ta sztuczka zadziała w innych przypadkach, ale musisz uważać, który element upuszczasz i może być konieczne upuszczenie więcej niż jednego).
źródło
Nie ma tutaj nieodłącznego problemu z pojedynczą kowariancją. Twój asymptotyczny rozkład jest osobliwą normą. Zobacz http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/tutorials/mvahtmlnode34.html, który podaje gęstość pojedynczej normy.
źródło
Wydaje mi się, że macierz kowariancji Wassermana jest liczbą pojedynczą, aby zobaczyć, pomnożyć ją przez wektor jedyników, tj. długości .[ 1 , 1 , 1 , … , 1 ] ′d [1,1,1,…,1]′ d
Wikipedia i tak podaje tę samą macierz kowariancji. Jeśli ograniczymy się tylko do rozkładu dwumianowego, wówczas standardowe centralne twierdzenie o limicie mówi nam, że rozkład dwumianowy (po odpowiednim skalowaniu) zbliża się do normalnego, gdy staje się duże (zobacz ponownie wikipedię ). Stosując podobne pomysły, powinieneś być w stanie wykazać, że odpowiednio wyskalowany mulinomial będzie zbieżny w rozkładzie do wielowymiarowej normalnej, tj. Każdy rozkład brzeżny jest tylko dwumianowy i zbiega się do rozkładu normalnego, a wariancja między nimi jest znana.n
Jestem więc bardzo pewien, że przekonasz się, że rozkład zbieżny z wielowymiarową normalną z zerową średnią i kowariancją gdzie jest kowariancją macierz omawianego wielomianu jest wektorem prawdopodobieństw . C.
źródło
Czy to nie jest tak, żewszystkie , gdzie jest macierzą kowariancji wielomianu z -tego wiersza i kolumny usuwa? Ponieważ tak jest, nie rozumiem, co rozumiesz przez „wolność wyboru”, ponieważ każdy „wybór” jest równoważny.ja , j S - ja i|S−i|=|S−j| i,j S−i i
źródło