Dlaczego estymator OLS współczynnika AR (1) jest tendencyjny?

11

Próbuję zrozumieć, dlaczego OLS podaje tendencyjny estymator procesu AR (1). Zastanów się W tym modelu naruszona jest ścisła egzogeniczność, tzn. y_t i \ epsilon_t są skorelowane, ale y_ {t-1} i \ epsilon_t są nieskorelowane. Ale jeśli jest to prawdą, to dlaczego poniższe proste wyprowadzenie nie działa?

yt=α+βyt1+ϵt,ϵtiidN(0,1).
ytϵtyt1ϵt
plim β^=Cov(yt,yt1)Var(yt1)=Cov(α+βyt1+ϵt,yt1)Var(yt1)=β+Cov(ϵt,yt1)Var(yt1)=β.
Florestan
źródło
W Cross Validated pojawiło się kilka powiązanych pytań. Możesz skorzystać z ich wyszukiwania.
Richard Hardy
Widziałem ich, ale tak naprawdę mi nie pomogły. Znalazłem dowód i symulacje, które pokazują ten wynik. Interesuje mnie to, co jest nie tak z powyższym rozumowaniem.
Florestan
1
Kiedy używasz plim , czy nie odnosisz się do spójności, a nie (nie) stronniczości? W przypadku (nie) stronniczości powinieneś używać oczekiwań.
Richard Hardy
Masz całkowitą rację, to może rozwiązać zagadkę. Więc jeśli powyższe równanie nie zachowuje się bez pionu, nie przeczyłoby to tendencyjności OLS w małych próbkach i pokazywałoby spójność OLS w tym samym czasie. Chociaż jestem trochę niepewny: czy ta kowariancja w stosunku do formuły wariancji naprawdę odnosi się tylko do pionu, a nie do oczekiwań? Wielkie dzięki już!
Florestan,
1
Sam estymator OLS nie obejmuje żadnych , powinieneś tylko spojrzeć na oczekiwania w skończonych próbkach. plim
Richard Hardy

Odpowiedzi:

10

Jak zasadniczo omówiono w komentarzach, bezstronność jest skończoną próbką, a gdyby ją utrzymywał, wyrażałaby się jako

E(β^)=β

(gdzie oczekiwana wartość jest pierwszym momentem rozkładu próby skończonej)

podczas gdy spójność jest cechą asymptotyczną wyrażoną jako

plimβ^=β

PO pokazuje, że chociaż OLS w tym kontekście jest stronniczy, nadal jest spójny.

E(β^)βbutplimβ^=β

Tutaj nie ma sprzeczności.

Alecos Papadopoulos
źródło
6

@Alecos ładnie wyjaśnia, dlaczego poprawne podanie i bezstronność nie są takie same. Jeśli chodzi o podstawowy powód, dla którego estymator nie jest bezstronny, pamiętaj, że bezstronność estymatora wymaga, aby wszystkie terminy błędów były średnie niezależne od wszystkich wartości regresora, .E(ϵ|X)=0

W niniejszym przypadku macierz regresora składa się z wartości , tak więc - patrz komentarz mpiktas - warunek przekłada się na dla wszystkich .y1,,yT1E(ϵs|y1,,yT1)=0s=2,,T

Mamy tutaj

yt=βyt1+ϵt,
Nawet przy założeniu mamy, że Ale jest również regresorem dla przyszłych wartości w modelu AR, ponieważ .E(ϵtyt1)=0
E(ϵtyt)=E(ϵt(βyt1+ϵt))=E(ϵt2)0.
ytyt+1=βyt+ϵt+1
Christoph Hanck
źródło
3
Dodałbym wyjaśnienie, że w tym przypadku tłumaczy się na dla każdego . Następnie dalsza dyskusja staje się nieco jaśniejsza. E(ε|X)E(εs|y1,...,yT)s
mpiktas,
dobra uwaga, dokonałem edycji
Christoph Hanck
3

Rozwijając dwie dobre odpowiedzi. Zapisz estymator OLS:

β^=β+t=2Tyt1εtt=2Tyt12

Potrzebujemy obiektywności

E[t=2Tyt1εtt=2Tyt12]=0.

Ale do tego potrzebujemy dla każdego . W przypadku modelu AR (1) najwyraźniej zawodzi, ponieważ jest powiązany z przyszłymi wartościami .E(εt|y1,...,yT1)=0,tεtyt,yt+1,...,yT

mpiktas
źródło
Żeby sprawdzić, czy dobrze to zrozumiałem: problemem nie jest licznik, ponieważ każdy t i są nieskorelowane. Problemem jest mianownik, który ma wyższe t, tak że istnieje korelacja między licznikiem a mianownikiem, tak że nie mogę przyjąć oczekiwań w ramach sumy licznika (pod ścisłą egzogenicznością mógłbym to zrobić ?!). Czy to poprawna intuicja matematyczna? yt1ϵt
Florestan,
Tak, to właściwa intuicja. Należy pamiętać, że ścisła egzogeniczność nie jest w tym przypadku możliwa, ale dla bezstronności wymagana jest ścisła egzogeniczność.
mpiktas