Zmienna wskaźnikowa dla danych binarnych: {-1,1} vs {0,1}

Ja zainteresowany interakcji leczeniem współzmienną w kontekście doświadczeń / randomizacją z binarnego przypisywania traktowania wskaźnik $T$ .

W zależności od konkretnej metody / źródła widziałem zarówno $T=\{1,0\}$ i dla leczonych i nieleczonych pacjentów.$T=\{1, -1\}$

Czy jest jakaś reguła, kiedy używać lub ?$\{1,0\}$$\{1, -1\}$

Czym różni się interpretacja?

Interpretacja zarówno estymatora zmiennej wskaźnikowej, jak i przecięcia jest różna. Zacznijmy od :$\{1,0\}$

Powiedz, że masz następujący model

$$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$$

gdzie

$$treatment = \begin{cases} 0 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$$

W takim przypadku można skończyć z następujących wzorów dla :$y_i$

$$y_i = \begin{cases} \beta_0 + 0\cdot\beta_1 = \beta_0 & \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$$

Tak więc interpretacja jest efektem placebo, a interpretacja β 1 jest różnicą między efektem placebo a działaniem leku. W efekcie można interpretować β 1 jako ulepszenie oferowane przez lek.$\beta_0$$\beta_1$$\beta_1$

---

Spójrzmy teraz na :$\{-1,1\}$

Następnie masz następujący model (ponownie):

$$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$$

ale gdzie

$$treatment = \begin{cases} -1 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$$

W takim przypadku można skończyć z następujących wzorów dla :$y_i$

$$y_i = \begin{cases} \beta_0 + -1\cdot\beta_1 = \beta_0 - \beta_1& \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$$

Interpretacja jest tutaj taka, że jest średnią efektu placebo i działania leku, a β 1 jest różnicą między dwoma terapiami w stosunku do tej średniej.$\beta_0$$\beta_1$

---

Więc którego używasz?

Interpretacja w { 0 , 1 } jest zasadniczo punktem odniesienia. Ustawiasz pewne standardowe leczenie, a wszystkie inne zabiegi (może być ich wiele) są porównywane z tym standardem / linią bazową. Zwłaszcza, gdy zaczynasz dodawać inne zmienne towarzyszące, łatwo jest to zinterpretować w odniesieniu do standardowego pytania medycznego: jak te leki różnią się od placebo lub ustalonego leku?$\beta_0$$\{0,1\}$

Ale ostatecznie wszystko jest kwestią interpretacji, którą wyjaśniłem powyżej. Powinieneś więc ocenić swoje hipotezy i sprawdzić, która interpretacja sprawia, że ​​wyciąganie wniosków jest najprostsze.

W kontekście regresji liniowej jest bardziej naturalną (i standardową) metodą kodowania zmiennych binarnych (umieszczając je po lewej stronie prawej strony regresji). Jak wyjaśnia @Jarko Dubbeldam, możesz oczywiście użyć innej interpretacji, a znaczenie współczynników będzie inne.$x_i \in \{0, 1\}$

Dla przykładu, kodowanie zmiennych wyjściowych jest standardem podczas programowania lub wyprowadzania matematyki leżącej u podstaw maszyn wektorów wsparcia . (Wywołując biblioteki, chcesz przekazać dane w formacie, którego oczekuje biblioteka, prawdopodobnie jest to sformułowanie 0, 1).$y_i \in \{-1, 1\}$

Spróbuj użyć notacji, która jest standardowa dla tego, co robisz / używasz.

---

Dla każdego rodzaju modelu liniowego z terminem przechwytującym obie metody będą równoważne w tym sensie, że są powiązane prostą transformacją liniową. Matematycznie nie ma znaczenia, czy używasz macierzy danych czy macierzy danych ˜ X = X A, gdzie A ma pełną rangę. W ogólny model liniowy, szacunkowe współczynniki albo sposób będą związane przez liniowej transformacji A i dopasowanymi wartościami y będą takie same.$X$$\tilde{X} = XA$$A$$A$$\hat{y}$

Jest to bardziej abstrakcyjne (i być może bezużyteczne), ale zauważę, że te dwie reprezentacje są w sensie matematycznym faktycznie reprezentacjami grupowymi i istnieje między nimi izomorfizm.

Znaczenie zmiennej wskaźnikowej , w sercu boolowskiej, brzmi „czynnik jest prawdziwy” lub „czynnik jest fałszywy”. Biorąc pod uwagę dwa zdarzenia T 1 i T 2 , możesz zapytać „czy czynniki tych dwóch zdarzeń są równoważne, np. Czy oba są prawdziwe, czy oba fałszywe?” W logice boolowskiej jest to T 1 ⇔ T 2 . Definiuje to strukturę grupy Z 2 . Teraz 1 $T$$T_1$$T_2$$T_1 \Leftrightarrow T_2$$\mathbb{Z}_2$ i 1 , - 1 oba tworzą reprezentacje tej grupy, z operacjami grupy a ⇔ b = 1 - ( ${1,0}$${1,-1}$ i odpowiednio ⇔ b = a b . Izomorfizm od pierwszej reprezentacji do drugiej jest wyrażony przez ϕ ( a ) = 2 ∗ a - 1 .$a \Leftrightarrow b = 1 - (a+b)$$a \Leftrightarrow b = ab$$\phi(a) = 2*a-1$

$p$$T$$T \Leftrightarrow T'$$p' \Leftrightarrow p = pp' + (1-p)(1-p')$$t(p) = 2p-1$$t \Leftrightarrow t' = tt'$$t$