Powiedz, że jest ciągłą zmienną losową, a X jest zmienną dyskretną. \ Pr (X = x | Y = y) = \ frac {\ Pr (X = x) \ Pr (Y = y | X = x)} {\ Pr (Y = y)} $Y$$X$

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$$

Jak wiemy, $\Pr(Y=y) = 0$ ponieważ $Y$ jest ciągłą zmienną losową. Na tej podstawie kuszę się do wniosku, że prawdopodobieństwo $\Pr(X=x|Y=y)$ jest niezdefiniowane.

Jednak Wikipedia twierdzi tutaj, że tak naprawdę jest zdefiniowana następująco:

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$$

Pytanie: Jakiś pomysł, w jaki sposób Wikipedii udało się określić to prawdopodobieństwo?

---

Moja próba

Oto moja próba uzyskania wyniku Wikipedii pod względem limitów:

$$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$$

Teraz wydaje się , że $\Pr(X=x|Y=y)$$\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$ , który pasuje twierdzi Wikipedia.

Czy tak właśnie zrobiła Wikipedia?

Ale nadal czuję, że nadużywam rachunku różniczkowego. Myślę więc, że jest niezdefiniowany, ale w miarę zbliżania się limitu do zdefiniowania i , ale nie wzrokowo, to$\Pr(X=x|Y=y)$$\Pr(Y=y)$$\Pr(Y=y|X=x)$$\Pr(X=x|Y=y)$ jest zdefiniowane.

Ale jestem w dużej mierze niepewny co do wielu rzeczy, w tym sztuczki z limitami, którą tam zrobiłem, czuję, że może nawet nie w pełni rozumiem sens tego, co zrobiłem.

Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa , x ∈ X , y ∈ Y jest formalnie zdefiniowany jako rozwiązanie równania P ( X = x , Y ∈ A ) = ∫ A P ( X = x | Y = y ) f Y ( y ) d $\mathbb{P}(X=x|Y=y)$$x\in\mathcal{X}$$y\in\mathcal{Y}$ , gdzie σ ( Y ) ma uprzednio σ -algebra związane z rozkładem Y . Jedno z tych rozwiązań zapewnia formuła Bayesa (1763), jak wskazano wWikipedii: P ( X = x | Y = y ) = P ( X = x ) f Y | X = x ( y

$$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$$ $\sigma(\mathcal{Y})$$\sigma$$Y$ chociaż wersje, które są arbitralnie zdefiniowane w zestawie zero-miara w σ ( Y ), są również ważne. $$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$$ $\sigma(\mathcal{Y})$

Pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego w odniesieniu do pojedynczej hipotezy, której prawdopodobieństwo wynosi 0, jest niedopuszczalne. Możemy bowiem uzyskać rozkład prawdopodobieństwa dla [szerokości geograficznej] na okręgu południkowym tylko wtedy, gdy uważamy to koło za element rozkładu całej powierzchni kulistej na okręgi południkowe przy danych biegunach -  Andrei Kolmogorov

Jak pokazuje paradoks Borela-Kołmogorowa , biorąc pod uwagę konkretną wartość potencjalnie przyjętą Y , warunkowy rozkład prawdopodobieństwa P ( X = x | Y = y 0 ) nie ma ścisłego znaczenia, nie tylko dlatego, że zdarzenie { ω $y_0$$Y$$\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$ ma miarę zerową, ale również dlatego, że to zdarzenie można interpretować jako mierzalne w odniesieniu do nieskończonego zakresu σ -algeb.$\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$$\sigma$

Uwaga: oto jeszcze bardziej formalne wprowadzenie, zaczerpnięte z przeglądu teorii prawdopodobieństwa na blogu Terry Tao :

Definicja 9 (rozpad) Niech jest zmienną losową o zakresie badań . Rozpad ( R ' , ( μ Y ) r ∈ R ' ) na leżącej próbkowania przestrzeni Ohm względem Y jest podzbiorem R ' o R pełnej środka μ Y (zatem Y ∈ R ' prawie na pewno) wraz z przypisanie miary prawdopodobieństwa P ( | Y = y $Y$$R$$(R', (\mu_y)_{y \in R'})$$\Omega$$Y$$R'$$R$$\mu_Y$$Y \in R'$${\bf P}(|Y=y)$na podprzestrzeń z Ohm na każdy Y ∈ R , który jest do zmierzenia w tym sensie, że mapa Y ↦ P ( C | Y = Y ) można zmierzyć za każdą zdarzenie F , i takie, że P ( F ) = E P ( F | Y ) dla wszystkich takich zdarzeń, gdzie$\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$$\Omega$$y \in R$$y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$$F$

$$\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$$ jest (prawie na pewno zdefiniowaną) zmienną losową zdefiniowaną jako równa P ( F | Y = y ) za każdym razem, gdy Y = y .${\bf P}(F|Y)$${\bf P}(F|Y=y)$$Y=y$

Biorąc pod uwagę taki rozpad, możemy następnie warunkować zdarzenie dla dowolnego y ∈ R ' , zastępując Ω podprzestrzenią Ω y (indukowaną algebrą σ ), ale zastępując leżącą u podstaw miarę prawdopodobieństwa P przez P ( | Y = y ) . Możemy zatem warunkować (bezwarunkowe) zdarzenia F i zmienne losowe X do tego zdarzenia, aby utworzyć zdarzenia warunkowe ( F | Y = y i zmienne losowe $Y=y$$y \in R'$$\Omega$$\Omega_y$$\sigma$${\bf P}$${\bf P}(|Y=y)$$F$$X$$(F|Y=y)$ w przestrzeni warunkowanej, co powoduje prawdopodobieństwo warunkowe P ( F | Y = y ) (co jest zgodne z istniejącą notacją tego wyrażenia) i oczekiwanie warunkowe E ( X | Y = y ) (przy założeniu absolutna całkowalność w tej uwarunkowanej przestrzeni). Następnie ustawiamy E ( X | Y ) jako (prawie na pewno zdefiniowaną) zmienną losową zdefiniowaną jako równa E$(X|Y=y)$${\bf P}(F|Y=y)$${\bf E}(X|Y=y)$${\bf E}(X|Y)$ ilekroć Y = y .${\bf E}(X|Y=y)$$Y=y$

$Y$$X$ jest dyskretne.

Mieszana gęstość spoiny:

$$f_{XY}(x,y)$$

Gęstość krańcowa i prawdopodobieństwo:

$$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$$

$$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$$

Gęstość warunkowa i prawdopodobieństwo:

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$$

Reguła Bayesa:

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$$

Oczywiście nowoczesnym, rygorystycznym sposobem radzenia sobie z prawdopodobieństwem jest teoria miar. Definicja precyzji znajduje się w odpowiedzi Xi'ana.

$$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$$ $P(X=x|Y=y)$$X$$Y$$X$ w tym przypadku

Edycja: Z powodu zamieszania związanego z notacją (patrz komentarze) powyższe tak naprawdę odnosi się do sytuacji odwrotnej do tego, o co pytał jaskiniowiec.