Kontrprzykłady, w których mediana jest poza [Mode-Mean]

Ten artykuł jest powyżej mojej ligi, ale mówi o interesującym mnie temacie, związku między środkiem, trybem i medianą. To mówi :

Powszechnie uważa się, że mediana rozkładu nieimodalnego jest „zwykle” pomiędzy średnią a modą. Jednak nie zawsze jest to prawdą ...

Moje pytanie : czy ktoś może podać przykłady ciągłych rozkładów unimodalnych (idealnie prostych), w których mediana jest poza przedziałem [tryb, średnia]? Na przykład dystrybucja taka jak mode < mean < median.

=== EDYCJA =======

Istnieją już dobre odpowiedzi Glen_b i Francisa, ale zdałem sobie sprawę, że naprawdę interesuje mnie przykład, w którym tryb <średnia <mediana lub mediana <średnia <tryb (to znaczy, że zarówno mediana jest poza [tryb, średnia] ORAZ mediana jest „po tej samej stronie” jako średnia dla trybu (tj. zarówno powyżej, jak i poniżej trybu). Mogę zaakceptować odpowiedzi tutaj są otwarte nowe pytanie, a może ktoś może bezpośrednio zasugerować rozwiązanie tutaj?

Jasne, nietrudno jest znaleźć przykłady - nawet te ciągłe nieimodalne - gdzie mediana nie znajduje się pomiędzy średnią a modą.

1. Rozważmy iid z trójkątnego rozkładu postaci$T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   Teraz niech będzie 60-40 mieszanką i .T 1 - 4 T $X$$T_1$$-4T_2$

   Gęstość wygląda następująco:$X$

   

   Średnia jest poniżej 0, tryb wynosi 0, ale mediana jest wyższa od 0. Drobna modyfikacja tego dałaby przykład, w którym nawet gęstość (a nie tylko cdf) była ciągła, ale związek między miarami lokalizacji był to samo (edycja: patrz 3. poniżej).

2. Uogólniając, umieśćmy proporcję (z ) całkowitego prawdopodobieństwa w trójkącie po prawej stronie i proporcję w trójkącie po lewej stronie (zamiast 0,6 i 0,4 mieliśmy wcześniej). Ponadto, ustaw współczynnik skalowania na lewej połowie zamiast (z ):0 < p < 1 ( 1 - p ) - $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$β > $-4$$\beta>0$

   

   Teraz zakładając, że , mediana będzie zawsze w przedziale objętym prostokątnym trójkątem, więc mediana przekroczy tryb (który zawsze pozostanie na ). W szczególności, gdy , mediana będzie wynosić . 0p>$p>\frac12$$0$ 1-1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   Średnia będzie wynosić .$(p - \beta(1-p))/3$

   Jeśli wówczas średnia będzie poniżej trybu, a jeśli średnia będzie powyżej trybu.β < p / ( 1 - p $\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   Z drugiej strony chcemy aby utrzymać średnią poniżej mediany.$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   Rozważ ; umieszcza to medianę powyżej trybu.$p=0.7$

   Wtedy spełnia więc średnia jest powyżej trybu.β < p / ( 1 - p $\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   Mediana w rzeczywistości wynosi podczas gdy średnia wynosi . Stąd dla i mamy tryb <średnia <mediana. 0,7 - 2 ( 0,3 $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$p=0,7β=$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   (Uwaga: W celu zachowania spójności z moją notacją zmienna na osi x dla obu wykresów powinna wynosić zamiast ale nie zamierzam tego cofać i naprawiać.)$x$$t$

3. Jest to przykład, w którym sama gęstość jest ciągła. Opiera się na podejściu z 1. i 2. powyżej, ale z „skokiem” zastąpionym stromym zboczem (a potem cała gęstość odwróciła się o 0, ponieważ chcę przykład, który wygląda na skośny).

   

   [Stosując metodę „mieszanki gęstości trójkątnej”, można ją wygenerować jako mieszaninę 3 niezależnych skalowanych wariantów trójkątnej postaci opisanej w rozdziale 1. Mamy teraz 15% , 60% i 25% .] - 3 T 2 5 T $T_1$$-3T_2$$5T_3$

   Jak widać na powyższym schemacie, średnia jest na środku, zgodnie z żądaniem.

4. Zauważ, że m_t_ wspomina Weibulla w komentarzach (dla których mediana jest poza przedziałem dla małego zakresu parametru kształtu ). Jest to potencjalnie satysfakcjonujące, ponieważ jest to dobrze znany unimodalny ciągły (i gładki) rozkład o prostej formie funkcjonalnej.$[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   W szczególności w przypadku małych wartości parametru kształtu Weibulla rozkład jest pochylony w prawo, a my mamy zwykle sytuację mediany między trybem a średnią, natomiast w przypadku dużych wartości parametru kształtu Weibulla rozkład jest pochylony w lewo , i znów mamy tę sytuację „mediany w środku” (ale teraz z trybem po prawej stronie, a nie średnią). Pomiędzy tymi przypadkami jest niewielki obszar, w którym mediana znajduje się poza przedziałem trybu średniego, a pośrodku tego średnia i tryb krzyżują się:

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   Wybierając dogodne wartości parametru kształtu w przedziałach oznaczonych (1) i (2) powyżej - tych, w których luki między statystykami lokalizacji są prawie równe - otrzymujemy:

   

   Chociaż spełniają one wymagania, niestety trzy parametry lokalizacji są tak blisko siebie, że nie możemy ich wizualnie rozróżnić (wszystkie mieszczą się w tym samym pikselu), co jest nieco rozczarowujące - przypadki dla moich wcześniejszych przykładów są znacznie więcej rozdzielony. (Niemniej jednak sugeruje sytuacje do zbadania przy innych dystrybucjach, z których niektóre mogą dawać wyniki, które są bardziej wizualnie odmienne).

Poniższy przykład pochodzi z kontrprzykładów Jordana Stoyanova w prawdopodobieństwie .

Biorąc pod uwagę dodatnią stałą i , rozważ losową zmienną o gęstości średnie , mediana i tryb z może być znalezione Uwaga jest gęstością tylko wtedy, gdy Więc jeśli pozwolimy to . W rezultacie, jeśli wybierzemy który jest blisko$c$$\lambda$$X$

Weź rozkład wykładniczy z parametrem szybkości a i gęstością exp (-ax) dla 0 <= x <nieskończoności. Tryb jest ustawiony na zero. Oczywiście średnia i mediana są większe niż 0. Plik cdf to 1-exp (-ax). Więc dla mediany rozwiąż dla exp (-ax) = 0,5 dla x. Następnie -ax = ln (0,5) lub x = -ln (0,5) / a. Dla średniej całkuj ax exp (-ax) od 0 do nieskończoności. Weźmy a = 1 i mamy medianę = -ln (0,5) = ln (2) i średnią = 1.

Więc tryb <mediana <średnia.