Na kursach prawdopodobieństwa dowiedziałem się, że funkcja skumulowanego rozkładu zmiennej losowej jest ciągła. Czy można to udowodnić?X
źródło
Na kursach prawdopodobieństwa dowiedziałem się, że funkcja skumulowanego rozkładu zmiennej losowej jest ciągła. Czy można to udowodnić?X
Aby udowodnić właściwą ciągłość funkcji rozkładu, musisz użyć ciągłości z góry , co prawdopodobnie udowodniłeś na jednym z kursów prawdopodobieństwa.
Lemat. Jeśli sekwencja zdarzeń maleje, w tym sensie, że dla każdego , to , w którym .
Użyjmy lematu. Funkcja rozkładu jest właściwie ciągła w pewnym momencie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej malejącej sekwencji liczb rzeczywistych tak, że mamy .
Zdefiniuj zdarzenia , dla . Udowodnimy, że
W jednym kierunku, jeśli dla każdego , ponieważ , mamy .
W przeciwnym kierunku, jeśli , ponieważ dla każdego , mamy , dla każdego .
Używając lematy, wynik jest następujący: