Wypełnianie macierzy korelacji 3x3: dwa podane współczynniki

Zadano mi to pytanie w wywiadzie.

Powiedzmy, że mamy macierz korelacji w postaci

Poproszono mnie o znalezienie wartości gamma, biorąc pod uwagę tę macierz korelacji.
Pomyślałem, że mogę coś zrobić z wartościami własnymi, ponieważ wszystkie powinny być większe lub równe 0. (Macierz powinna być dodatnia półfinałowa) - ale nie sądzę, że to podejście da odpowiedź. Brakuje mi sztuczki.

Czy możesz podać wskazówkę dotyczącą rozwiązania tego samego?

Wiemy już, że jest ograniczona między Macierz korelacji powinna być dodatnia półfinałowa, a zatem jej główni nieletni powinni być nieujemni[ - 1 , 1 $\gamma$$[-1,1]$

Tak więc

Oto prostsze (i być może bardziej intuicyjne) rozwiązanie:

Pomyśl o kowariancji jako wewnętrznym produkcie nad abstrakcyjną przestrzenią wektorową . Następnie, wpisy w macierzy korelacji do wektorów v 1 , V, 2 , v 3 , w którym kątownik ⟨ v i , v j ⟩ oznacza kąt pomiędzy v ı i v j .$\cos\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$$\mathbf{v}_1$$\mathbf{v}_2$$\mathbf{v}_3$$\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$$\mathbf{v}_i$$\mathbf{v}_j$

To nie jest trudne do wizualizacji, które jest ograniczony przez | ⟨ V 1 , V, 2 ⟩ ± ⟨ v 1 , v 3 ⟩ | . W związku z tym cosinus ( ) jest więc . Podstawowa trygonometria daje wtedy .$\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\rangle$$|\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle|$$\gamma$$\cos\left[\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\right]$$\gamma\in[0.6\times 0.8 - 0.6\times 0.8, 0.6\times 0.8 + 0.6\times 0.8] = [0, 0.96]$

Edycja: Należy pamiętać, że w ostatnim wierszu jest naprawdę cos ⟨ v 1 , v 2 ⟩ cos ⟨ v 1 , v 3 ⟩ ∓ grzech ⟨ v 1 , v 3 ⟩ grzech ⟨ v 1 , v 2 ⟩ - drugie pojawienie się 0,6 i 0,8 następuje przypadkowo dzięki 0,6 2 + 0,8 2 = $0.6\times 0.8 \mp 0.6\times 0.8$$\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\mp \sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle$$0.6^2+0.8^2=1$.

Oto, co miałem na myśli w moim początkowym komentarzu do odpowiedzi i co postrzegam @yangle może mówić (chociaż nie śledziłem / nie sprawdziłem ich obliczeń).

„Matryca powinna być dodatnia półfinałowa” oznacza, że wektory zmienne są wiązką w przestrzeni euklidesowej. Przypadek macierzy korelacji jest łatwiejszy niż macierzy kowariancji, ponieważ trzy długości wektorów są ustalone na 1. Wyobraź sobie 3 wektory jednostkowe XYZ i pamiętaj, że jest cosinus kąta . Zatem cos α = r x y = 0,6 , a cos β = r y z = 0,8 . Jakie mogą być granice dla cos γ = r x $r$$\cos \alpha=r_{xy}=0.6$$\cos \beta=r_{yz}=0.8$$\cos \gamma=r_{xz}$? Korelacja ta może przyjmować dowolną wartość zdefiniowaną przez Z, opisującą Y (utrzymując przy tym kąt ):$r_{yz}=0.8$

Gdy się obraca, dwie pozycje są niezwykłe jako ostateczne wrt X, obie mają miejsce, gdy Z wpada do płaszczyzny XY. Jeden znajduje się między X i Y, a drugi znajduje się po przeciwnej stronie Y. Są one pokazane przez wektory niebieskie i czerwone. W obu tych pozycjach dokładnie konfiguracja XYZ (macierz korelacji) jest pojedyncza. A są to minimalny i maksymalny kąt (stąd korelacja) Z może osiągnąć wrt X.

Wybierając wzór trygonometryczny w celu obliczenia sumy lub różnicy kątów na płaszczyźnie, mamy:

jako granice.$\cos \gamma = r_{xy} r_{yz} \mp \sqrt{(1-r_{xy}^2)(1-r_{yz}^2)} = [0,0.96]$

Ten widok geometryczny jest kolejnym (a konkretnym i prostszym w przypadku 3D) spojrzeniem na to, co @rightskewed wyraził w kategoriach algebraicznych (nieletni itp.).

Zabawa z głównymi nieletnimi może być w porządku na problemach 3 na 3 lub 4 na 4, ale zabraknie gazu i stabilności liczbowej w wyższych wymiarach.

W przypadku pojedynczego problemu „wolnego” parametru, takiego jak ten, łatwo zauważyć, że zestaw wszystkich wartości tworzących psd macierzy będzie pojedynczym interwałem. Dlatego wystarczy znaleźć minimum i maksimum takich wartości. Można to łatwo osiągnąć, rozwiązując numerycznie parę problemów z liniowym programowaniem SemiDefinite (SDP):

1. minimalizacja γ podlegająca matrycy to psd.
2. maksymalizacja γ zależna od macierzy to psd.

Na przykład problemy te można formułować i rozwiązywać numerycznie, używając YALMIP w MATLAB.

1. gamma = sdpvar; A = [1, 6, 8; .6 1 gamma; 0,8 gamma 1]; optymalizuj (A> = 0, gamma)
2. optymalizuj (A> = 0, -gamma)

Szybki, łatwy i niezawodny.

BTW, jeśli smarty ankieter spodni zadający pytanie, nie wie, że programowanie SemiDefinite, które jest dobrze rozwinięte i ma wyrafinowane i łatwe w użyciu optymalizatory numeryczne do niezawodnego rozwiązywania problemów praktycznych, może być użyte do rozwiązania tego problemu, i wiele więcej trudne warianty, powiedz mu, że to już nie 1870 rok, i czas skorzystać z nowoczesnych osiągnięć obliczeniowych.

Rozważmy następujący zestaw wypukły

$3$

$x=0.6$$y=0.8$

Granicą eliptopu jest sześcienna powierzchnia określona przez

$x=0.6$$y=0.8$

Zatem przecięcie eliptopu z dwiema płaszczyznami jest parametryzowanym segmentem linii

Każda dodatnia półokreślona macierz jest macierzą korelacji / kowariancji (i odwrotnie).

$A$$A$$A=UDU^T$$U$$D$$B= U D^{1/2} U^T$$D^{1/2}$

$\mathbf{x}$$B \mathbf{x}$$A$

$R=E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]$$R = R^T$$\mathbf{a}^T R \mathbf{a} = E[(\mathbf{a}^T \mathbf{x})^2] \geq 0$$\mathbf{a}$$R$

$2^n$$n$