Załóżmy, że mamy wielowymiarowy normalny losowy wektor
z i pełnej rangi symetryczna dodatnia określona macierz .μ ∈ R k k × k Σ = ( σ i j )
( logX1, … , LogXk) ∼ N( μ , Σ ),
μ ∈ Rkk × kΣ = ( σI j)
Dla logarytmu nietrudno udowodnić, że
m i : = E [ X i ] = e μ i + σ i i / 2( X1, … , Xk)c i j : = Cov [ X i , X j ] = m i
mja: = E [ Xja] = eμja+ σja ja/ 2,i = 1 , … , k,
doI j: = Cov [ Xja, Xjot] = mjamjot( eσI j- 1 ),i , j = 1 , … , k,
i wynika z tego, że .doI j> - mjamjot
Możemy zatem zadać odwrotne pytanie: dane i symetryczna dodatnia określona macierz , spełniająca , jeśli pozwolimy
będziemy mieli logarytmiczny wektor z ustalonymi środkami i kowariancjami. k × k C = ( c i j ) c i j > - m i m j μ i = log m i - 1m = ( m1, … , Mk) ∈ Rk+k × kdo= ( cI j)doI j> - mjamjotσ i j = log ( c i j
μja= logmja- 12)log( cja jam2)ja+ 1 ),i = 1 , … , k,
σI j= log( cI jmjamjot+ 1 ),i , j = 1 , … , k,
Ograniczenie i jest równoważne warunkowi naturalnemu .m E [ X i X j ] > 0domE [ XjaXjot] > 0
Właściwie mam zdecydowanie rozwiązanie dla pieszych.
i tak dalej ... Jednak biorąc pod uwagę ograniczenia parametrów i nieliniowy charakter równań momentów, może się zdarzyć, że niektóre zestawy momentów odpowiadają niedopuszczalnemu zestawowi parametrów.
Na przykład, gdy , kończę na układzie równań β 1 = μ 1 / σ 2 1k = 2
(σ12+μ1μ2-μ2)2
aktualizacja ( 04/04 ): deinst przeredagował to pytanie jako nowe pytanie na forum matematycznym.
źródło
OK, to odpowiedź na komentarz Xi'ana. Jest za długi i musi mieć za dużo TeXa, by być wygodnym komentarzem. Zastrzeżenie Lector: Jest praktycznie pewne, że popełniłem błąd algebry. Nie wydaje się to być tak elastyczne, jak początkowo myślałem.
Nie wydaje się to wystarczającą elastycznością, aby uzyskać jakąkolwiek macierz kowariancji. Muszę wypróbować inny termin na wielomianu (ale podejrzewam, że to też może nie zadziałać (oczywiście muszę o tym więcej pomyśleć)).
źródło