Jakie są rozkłady na dodatnim kwadrancie k-wymiarowym z parametryzowalną macierzą kowariancji?

12

W następstwie ZZK jest pytanie o jego problem z ujemnymi symulacji, zastanawiam się jakie są parametryzowane rodziny rozkładów na dodatniej k-wymiarowa ćwiartce, , dla których kowariancji macierzy może być ustawiony.R+kΣ

Jak omówiono z zzk , rozpoczęcie od rozkładu na i zastosowanie transformacji liniowej nie działa.R+kXΣ1/2(Xμ)+μ

Xi'an
źródło

Odpowiedzi:

6

Załóżmy, że mamy wielowymiarowy normalny losowy wektor z i pełnej rangi symetryczna dodatnia określona macierz .μ R k k × k Σ = ( σ i j )

(logX1,,logXk)N(μ,Σ),
μRkk×kΣ=(σij)

Dla logarytmu nietrudno udowodnić, że m i : = E [ X i ] = e μ i + σ i i / 2(X1,,Xk)c i j : = Cov [ X i , X j ] = m i

mi:=E[Xi]=eμi+σii/2,i=1,,k,
cij:=Cov[Xi,Xj]=mimj(eσij1),i,j=1,,k,

i wynika z tego, że .cij>mimj

Możemy zatem zadać odwrotne pytanie: dane i symetryczna dodatnia określona macierz , spełniająca , jeśli pozwolimy będziemy mieli logarytmiczny wektor z ustalonymi środkami i kowariancjami. k × k C = ( c i j ) c i j > - m i m j μ i = log m i - 1m=(m1,,mk)R+kk×kC=(cij)cij>mimjσ i j = log ( c i j

μi=logmi12log(ciimi2+1),i=1,,k,
σij=log(cijmimj+1),i,j=1,,k,

Ograniczenie i jest równoważne warunkowi naturalnemu .m E [ X i X j ] > 0CmE[XiXj]>0

Zen
źródło
Wspaniale, Paulo! Masz zarówno działające rozwiązanie, jak i odpowiedni warunek w macierzy kowariancji, który również odpowiada na to pytanie . Log-normalne okazują się w końcu bardziej przydatne niż gamma.
Xi'an
3

Właściwie mam zdecydowanie rozwiązanie dla pieszych.

  1. Zacznij od i wybierz dwa parametry pasujące do wartości , .E [ X 1 ] var ( X 1 )X1Ga(α11,β1)E[X1]var(X1)
  2. Weź i wybierz trzy parametry pasujące do wartości , i .E [ X 2 ] var ( X 2 ) cov ( X 1 , X 2 )X2|X1Ga(α21X1+α22,β2)E[X2]var(X2)cov(X1,X2)
  3. Weź i wybierz cztery parametry pasujące do wartości , , i .E [ X 3 ] var ( X 3 ) cov ( X 1 , X 3 ) cov ( X 2 , X 3 )X3|X1,X2Ga(α31X1+α32X2+α33,β3)E[X3]var(X3)cov(X1,X3)cov(X2,X3)

i tak dalej ... Jednak biorąc pod uwagę ograniczenia parametrów i nieliniowy charakter równań momentów, może się zdarzyć, że niektóre zestawy momentów odpowiadają niedopuszczalnemu zestawowi parametrów.

Na przykład, gdy , kończę na układzie równań β 1 = μ 1 / σ 2 1k=2

β1=μ1/σ12,α11μ1β1=0

(σ12+μ1μ2-μ2)2

α22=μ2β2α21μ1,α21=(σ12+μ1μ2μ2)σ12+μ12μ1β2
μ Σ R 2 +
(σ12+μ1μ2μ2)2(σ12+μ12μ1)2σ12+μ2β2=σ22.
Uruchomienie kodu R z dowolnymi (i z góry akceptowalnymi) wartościami i doprowadziło do wielu przypadków bez rozwiązania. Ponownie, nie znaczy to wiele, ponieważ macierze korelacji dla rozkładów na mogą mieć silniejsze ograniczenia niż zwykła dodatnia determinant.μΣR+2

aktualizacja ( 04/04 ): deinst przeredagował to pytanie jako nowe pytanie na forum matematycznym.

Xi'an
źródło
1
Jednym ze sposobów nieznacznego rozszerzenia tego jest rozważenie naturalnej rodziny wykładniczej Następnie średni i kowariancji są gradient i Hesji od . Jeśli jest wielomianem (z rzeczywistymi wykładnikami> -1), to jest logiem wielomianu (z rzeczywistymi wykładnikami), a wariancja i Hesjan są funkcjami wymiernymi. Myślę, że daje to wystarczającą swobodę do przedstawienia dowolnej matrycy średnich i kowariancji. A h A
f(X|θ)=h(x)eθTXA(θ).
AhA
deinst
@deinst: (+1) Czy masz przykład, w którym tę wykładniczą reprezentację rodziny można wykorzystać w prosty sposób?
Xi'an
2
(X,Y)FR+0<μ<ρP(X>2μ)>0
1
ΣR+k
2
XYFμP(X>2μ)>0YX
2

OK, to odpowiedź na komentarz Xi'ana. Jest za długi i musi mieć za dużo TeXa, by być wygodnym komentarzem. Zastrzeżenie Lector: Jest praktycznie pewne, że popełniłem błąd algebry. Nie wydaje się to być tak elastyczne, jak początkowo myślałem.

R+3

f(x|θ)=h(x)eθTxA(θ)
x=(x,y,z)θ=(θ1,θ2,θ3)
h(x)=cx1e11x2e21x3e31+dx1f11x2f21x3f31
ei,fii
A(θ)=log(cΓ(e1)θ1e1Γ(e2)θ2e2Γ(e3)θ3e3+dΓ(f1)θ1f1Γ(f2)θ2f2Γ(f3)θ3f3).

c=cΓ(e1)Γ(e2)Γ(e2)θ1f1θ2f2θ3f3
d=dΓ(f1)Γ(f2)Γ(f2)θ1e1θ2e2θ3e3

AμX=e1c+f1dθ1(c+d)μY=e2c+f2dθ2(c+d)μZ=e3c+f3dθ3(c+d)A

σX2=(e1c+f1d)(c+d)+(e1f1)2cdθ12(c+d)2
Cov(X,Y)=(e1f1)(e2f2)cdθ1θ2(c+d)

Nie wydaje się to wystarczającą elastycznością, aby uzyskać jakąkolwiek macierz kowariancji. Muszę wypróbować inny termin na wielomianu (ale podejrzewam, że to też może nie zadziałać (oczywiście muszę o tym więcej pomyśleć)).

deinst
źródło
(θ1,θ2,θ3,c)
eifi
Jestem nieco (?) Zdezorientowany: nie przetworzyłeś wykładników jako parametrów rodziny wykładniczej. Ale rzeczywiście możesz zmienić te moce, jeśli chcesz, aby uzyskać prawidłowe równania 9-minutowe.
Xi'an
@ Xi'an Masz rację, nie przetworzyłem ich jako parametrów rodziny wykładniczej. W ten sposób rodzina nie byłaby już naturalną rodziną, a włączenie ich zamieniłoby algebrę w obliczanie równań chwili (które było wystarczająco mętne na początek).
deinst