Załóżmy, że mam dwa estymatory i które są spójnymi estymatorami tego samego parametru i takie, że z w sensie psd. Zatem asymptotycznie \ widehat {\ beta} _1 jest bardziej wydajny niż \ widehat {\ beta} _2 . Te dwa estymatory oparte są na różnych funkcjach strat.
Teraz chcę poszukać niektórych technik kurczenia się, aby poprawić właściwości skończonych próbek moich estymatorów.
Załóżmy, że znalazłem technikę skurczu, która poprawia estymator w skończonej próbce i daje mi wartość MSE równą . Czy to oznacza, że mogę znaleźć odpowiednią technikę skurczu do zastosowania w , która da mi MSE nie większą niż ?
Innymi słowy, jeśli skurcz jest zastosowany sprytnie, czy zawsze działa lepiej dla bardziej wydajnych estymatorów?
To interesujące pytanie, na którym najpierw chciałbym wskazać kilka najważniejszych wydarzeń.
Zasadniczo możliwe jest ulepszenie estymatora w określonych ramach, takich jak obiektywna klasa estymatorów. Jednak, jak wskazałeś, różne funkcje strat utrudniają sytuację, ponieważ jedna funkcja straty może zminimalizować straty kwadratowe, a druga minimalizuje entropię. Co więcej, użycie słowa „zawsze” jest bardzo trudne, ponieważ jeśli jeden estymator jest najlepszy w klasie, nie można domagać się żadnego lepszego estymatora, mówiąc logicznie.
Dla prostego przykładu (w tej samej strukturze), niech dwa estymatory, a mianowicie Bridge (regresja karana z ) i Lasso (prawdopodobieństwo kary pierwszej normy) i rzadki zestaw parametrów mianowicie , model liniowy , normalność terminu błędu, , znany , funkcja straty kwadratowej (błędy najmniejszych kwadratów) i niezależność zmiennych towarzyszących w . Wybierzmy dla dla pierwszego estymatora i dla drugiego estymatora. Następnie możesz poprawić estymatory, wybierająclp β y=xβ+e e∼N(0,σ2<∞) σ x lp p=3 p=2 p→1 co daje lepszy estymator o mniejszej wariancji. Następnie w tym przykładzie istnieje szansa na poprawę estymatora.
Więc moja odpowiedź na twoje pytanie brzmi „tak”, biorąc pod uwagę, że zakładasz tę samą rodzinę estymatorów i tę samą funkcję straty, a także założenia.
źródło