Interesują mnie modele, które mają odchylenie, które zmniejsza się szybciej niż , ale w którym błąd nie zmniejsza się w tym szybszym tempie, ponieważ odchylenie nadal zmniejsza się jako . W szczególności chciałbym poznać warunki wystarczające do zmniejszenia obciążenia modelu w tempie .
variance
estimation
maximum-likelihood
bias
Mike Izbicki
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Ogólnie rzecz biorąc, potrzebujesz modeli, w których MLE nie jest asymptotycznie normalny, ale zbiega się z innym rozkładem (i robi to szybciej). Zwykle dzieje się tak, gdy szacowany parametr znajduje się na granicy przestrzeni parametrów. Intuicyjnie oznacza to, że MLE podejdzie do parametru „tylko z jednej strony”, więc „poprawia się prędkość konwergencji”, ponieważ nie jest on „rozpraszany” przez poruszanie się „do przodu i do tyłu” wokół parametru.
Standardowym przykładem jest MLE dla w iid próbce jednolitego rv MLE tutaj jest statystyką maksymalnego rzędu,U ( 0 , θ )θ U(0,θ)
Jego skończony rozkład próbek wynosi
Więc . Ale ta sama podwyższona stopa będzie obowiązywać również dla wariancji.B(θ^n)=O(1/n)
Można również zweryfikować, że aby uzyskać rozkład ograniczający, musimy spojrzeć na zmienną , (tj. Musimy skalować o ), ponieważNn(θ−θ^n) n
który jest CDF rozkładu wykładniczego.
Mam nadzieję, że to daje pewien kierunek.
źródło
Po komentarzach do mojej drugiej odpowiedzi (i ponownym spojrzeniu na tytuł pytania PO!), Oto niezbyt rygorystyczne teoretyczne zbadanie tego problemu.
Chcemy ustalić, czy może mieć inny współczynnik zbieżności niż pierwiastek kwadratowy wariancji,B(θ^n)=E(θ^n)−θ
Mamy
podczas
Widzimy, że może się zdarzyć, jeśli(2)
A) oba składniki to , w którym to przypadku możemy mieć tylko .O(1/n2γ) γ=δ
B) Ale może to również dotyczyć, jeśli
Aby był zgodny z , musimy go mieć(3) (1)
Wydaje się więc, że w zasadzie możliwe jest zbieganie się odchylenia w szybszym tempie niż pierwiastek kwadratowy wariancji. Ale nie możemy mieć pierwiastka kwadratowego wariancji zbiegającego się szybciej niż błąd systematyczny.
źródło