Szansa, że ​​próbka bootstrap jest dokładnie taka sama jak oryginalna próbka

Chcę tylko sprawdzić jakieś uzasadnienie.

Jeśli moja oryginalna próbka ma rozmiar i ładuję ją, mój proces myślowy wygląda następująco:$n$

$\frac{1}{n}$ to szansa na jakąkolwiek obserwację z oryginalnej próbki. Aby mieć pewność, że następne losowanie nie będzie poprzednio próbkowaną obserwacją, ograniczamy wielkość próby do . W ten sposób otrzymujemy ten wzór:$n-1$

Czy to jest poprawne? Zastanawiam się, dlaczego tak nie jest .$(\frac{1}{n})^n$

Należy pamiętać, że w każdej pozycji obserwacyjnej ($i=1, 2, ..., n$) możemy wybrać dowolny z $n$ obserwacje, więc są $n^n$ możliwe próbki (z zachowaniem kolejności ich losowania) $n!$ są „tą samą próbką” (tj. zawierają wszystkie $n$oryginalne obserwacje bez powtórzeń; uwzględnia to wszystkie sposoby zamawiania próbki, od której zaczęliśmy).

Na przykład z trzema obserwacjami, a, b i c, masz 27 możliwych próbek:

aaa aab aac aba abb abc aca acb acc 
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc 
caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc 

Sześć z nich zawiera po jednym z a, b i c.

Więc $n!/n^n$ to prawdopodobieństwo odzyskania oryginalnej próbki.

Na bok - szybkie przybliżenie prawdopodobieństwa:

Weź pod uwagę, że :

więc

Dolna granica jest zwykle podana dla przybliżenia Stirlinga (która ma niski błąd względny dla dużego $n$).

[Gosper zasugerował użycie$n! \approx \sqrt{(2n+\frac13)\,\pi}n^ne^{-n}$ co dałoby przybliżenie $\sqrt{(2n+\frac13)\pi}\,e^{-n}$ dla tego prawdopodobieństwa, które działa dość dobrze aż do $n=3$, a nawet do $n=1$ w zależności od tego, jak surowe są twoje kryteria.]

(Odpowiedź na komentarz :) Prawdopodobieństwo, że nie uzyska się konkretnej obserwacji w danym ponownym próbkowaniu, wynosi $(1-\frac{1}{n})^n$ który dla dużych $n$ jest w przybliżeniu $e^{-1}$.

Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz
Dlaczego średnio każda próbka bootstrap zawiera około dwie trzecie obserwacji?