Dlaczego P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?

Rozumiem $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . Warunkowe jest przecięciem A i B podzielonym przez cały obszar B.

Ale dlaczego $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

Czy możesz podać trochę intuicji?

Czy nie powinno być: ?$P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$

Każdy wynik prawdopodobieństwa, który jest prawdziwy dla bezwarunkowego prawdopodobieństwa, pozostaje prawdziwy, jeśli wszystko zależy od jakiegoś zdarzenia.

Wiesz to z definicji a więc jeśli wszystko uzależnimy odwystąpieniaC, otrzymujemy, że P(A∣(B∩C))=P((A∩B)∣C

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ dokładnie tak, jak mówi intuicja. Można jednak ustawićD=B∩C i rozpocząć od definicjiP(A∣(B∩C))=P(A∣D)jak w(1)P(A∣(B∩C))=P(A∣D)=P $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ a następnie pomnóż i podziel przezP(C))po prawej stronie(3),aby zapisać wynik końcowy jako(2)jak w odpowiedzi Taylora. $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$ a relacja następuje, dzieląc pierwsze wyrażenie przez drugie.

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

My intuition is the following ...

Conditioning on $C$ means that we are considering only the cases when $C$ is given. Now, suppose that I live in a world where $C$ is always given.

My pepole know nothing about and cannot imagine a world without $C$. For some reason, our mathematicians denote probability of $X$ by $\hat{P}(X)$. They have also already discovered the rule

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

Now, you as an Earthling, know a world where $C$ is not part of the assumptions in everyday life. So, when you come to our planet you can immediately notice, that every our probability $\hat P(X)$ actually correspond to your $P(X|C)$.

You are immediately able to rewrite the RHS, following the upper discovery:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

But ... What is the LHS? Well, what is the probability of $A$ when $B$ is given when $C$ is (also) given? Precisely

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ hence the formula.