Pierwsze zdanie tej strony wiki głosi, że „W ekonometrii problem endogeniczności występuje, gdy zmienna objaśniająca jest skorelowana z terminem błędu. ” 1

Moje pytanie brzmi: jak to się może stać? Czy regresja beta nie jest wybrana w taki sposób, że błąd jest prostopadły do ​​przestrzeni kolumn macierzy projektowej?

Łączymy dwa typy terminu „błąd”. Wikipedia rzeczywiście ma artykuł poświęcony temu rozróżnieniu błędami a resztkami .

W regresji OLS Reszty (twoje szacunki błędu lub terminu $\hat \varepsilon$ są rzeczywiście gwarancją nieskorelowane ze zmiennych objaśniających, zakładając regresji zawiera termin przechwycenia.

Ale „prawdziwe” błędy $\varepsilon$ mogą być z nimi skorelowane i to właśnie liczy się jako endogeniczność.

Aby uprościć sprawę, rozważ model regresji (możesz to opisać jako podstawowy „ proces generowania danych ” lub „MZD”, model teoretyczny, który, jak zakładamy, generuje wartość $y$ ):

Zasadniczo nie ma powodu, dla którego $x$ nie może być skorelowane z $\varepsilon$ w naszym modelu, jednak bardzo wolelibyśmy, aby nie naruszało w ten sposób standardowych założeń OLS. Na przykład może się zdarzyć, że $y$ zależy od innej zmiennej, która została pominięta w naszym modelu, i zostało to włączone do pojęcia zakłócenia ( $\varepsilon$ jest miejscem, w którym zbijamy wszystkie rzeczy inne niż $x$ które wpływają na $y$ ). Jeśli ta pominięta zmienna jest również skorelowana z $x$ , to $\varepsilon$ będzie z kolei skorelowane z $x$ a my będziemy mieć endogeniczność (w szczególności odchylenie zmiennej pominiętej ).

Po oszacowaniu modelu regresji na dostępnych danych otrzymujemy

Ze względu na sposób OLS prace * Reszty ε będzie skorelowane z x . Ale to nie znaczy, że musimy unikać endogeniczności - to tylko oznacza, że nie można go wykryć poprzez analizę korelacji pomiędzy ε i X , który będzie (do błędu numerycznego) zero. A ponieważ założenia OLS zostały naruszone, nie jesteśmy już w stanie zagwarantować miłych właściwości, takich jak bezstronność, tak bardzo cieszymy się z OLS. Nasz szacunek β 2 będzie stronniczy.$\hat \varepsilon$$x$$\hat \varepsilon$$x$$\hat \beta_2$

$(*)$ Fakt, że ε jest skorelowane z X wynika bezpośrednio z „normalnych równań” Używamy do wyboru naszych najlepszych oszacowań dla współczynników.$\hat \varepsilon$$x$

Jeśli nie jesteś przyzwyczajony do ustawienia macierzy, a ja trzymam się modelu dwuwymiarowego zastosowanego w moim przykładzie powyżej, wówczas suma kwadratów reszt to $S(b_1, b_2) = \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2 = \sum_{i=1}^n (y_i-b_1 - b_2 x_i)^2$ i znaleźć optymalną $b_1 = \hat \beta_1$ i $b_2 = \hat \beta_2$ that minimise this we find the normal equations, firstly the first-order condition for the estimated intercept:

which shows that the sum (and hence mean) of the residuals is zero, so the formula for the covariance between $\hat \varepsilon$ and any variable $x$ then reduces to $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n x_i \hat \varepsilon_i$. We see this is zero by considering the first-order condition for the estimated slope, which is that

If you are used to working with matrices, we can generalise this to multiple regression by defining $S(b) = \varepsilon' \varepsilon = (y-Xb)'(y-Xb)$; the first-order condition to minimise $S(b)$ at optimal $b = \hat \beta$ is:

This implies each row of $X'$, and hence each column of $X$, is orthogonal to $\hat \varepsilon$. Then if the design matrix $X$ has a column of ones (which happens if your model has an intercept term), we must have $\sum_{i=1}^n \hat \varepsilon_i = 0$ so the residuals have zero sum and zero mean. The covariance between $\hat \varepsilon$ and any variable $x$ is again $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n x_i \hat \varepsilon_i$ and for any variable $x$ included in our model we know this sum is zero, because $\hat \varepsilon$ is orthogonal to every column of the design matrix. Hence there is zero covariance, and zero correlation, between $\hat \varepsilon$ and any predictor variable $x$.

If you prefer a more geometric view of things, our desire that $\hat y$ lies as close as possible to $y$ in a Pythagorean kind of way, and the fact that $\hat y$ is constrained to the column space of the design matrix $X$, dictate that $\hat y$ should be the orthogonal projection of the observed $y$ onto that column space. Hence the vector of residuals $\hat \varepsilon = y - \hat y$ is orthogonal to every column of $X$, including the vector of ones $\mathbf{1_n}$ if an intercept term is included in the model. As before, this implies the sum of residuals is zero, whence the residual vector's orthogonality with the other columns of $X$ ensures it is uncorrelated with each of those predictors.

But nothing we have done here says anything about the true errors $\varepsilon$. Assuming there is an intercept term in our model, the residuals $\hat \varepsilon$ are only uncorrelated with $x$ as a mathematical consequence of the manner in which we chose to estimate regression coefficients $\hat \beta$. The way we selected our $\hat \beta$ affects our predicted values $\hat y$ and hence our residuals $\hat \varepsilon = y - \hat y$. If we choose $\hat \beta$ by OLS, we must solve the normal equations and these enforce that our estimated residuals $\hat \varepsilon$ are uncorrelated with $x$. Our choice of $\hat \beta$ affects $\hat y$ but not $\mathbb{E}(y)$ and hence imposes no conditions on the true errors $\varepsilon = y - \mathbb{E}(y)$. It would be a mistake to think that $\hat \varepsilon$ has somehow "inherited" its uncorrelatedness with $x$ from the OLS assumption that $\varepsilon$ should be uncorrelated with $x$. The uncorrelatedness arises from the normal equations.

Simple example:

• Let $x_{i,1}$ be the number of burgers I buy on visit $i$
• Let $x_{i,2}$ be the number of buns I buy.
• Let $b_1$ be the price of a burger
• Let $b_2$ be the price of a bun.
• Independent of my burger and bun purchases, let me spend a random amount $a + \epsilon_i$ where $a$ is a scalar and $\epsilon_i$ is a mean zero random variable. We have $\operatorname{E}[\epsilon_i | X] = 0$.
• Let $y_i$ be my spending on a trip to the grocery store.

The data generating process is:

If we ran that regression, we would get estimates $\hat{a}$, $\hat{b}_1$, and $\hat{b}_2$, and with enough data, they would converge on $a$, $b_1$, and $b_2$ respectively.

(Technical note: We need a little randomness so we don't buy exactly one bun for each burger we buy at every visit to the grocery store. If we did this, $x_1$ and $x_2$ would be collinear.)

An example of omitted variable bias:

Now let's consider the model:

Observe that $u_i = b_2x_{i,2} + \epsilon_i$. Hence

Is this zero? Almost certainly not! The purchase of burgers $x_1$ and the purchase of buns $x_2$ are almost certainly correlated! Hence $u$ and $x_1$ are correlated!

What happens if you tried to run the regression?

If you tried to run:

Your estimate $\hat{b}_1$ would almost certainly be a poor estimate of $b_1$ because the OLS regression estimates $\hat{a}, \hat{b}, \hat{u}$ would be constructed so that $\hat{u}$ and $x_1$ are uncorrelated in your sample. But the actual $u$ is correlated with $x_1$ in the population!

What would happen in practice if you did this? Your estimate $\hat{b}_1$ of the price of burgers would ALSO pickup the price of buns. Let's say every time you bought a $1 burger you tended to buy a $0.50 bun (but not all the time). Your estimate of the price of burgers might be $1.40. You'd be picking up the burger channel and the bun channel in your estimate of the burger price.

Suppose that we're building a regression of the weight of an animal on its height. Clearly, the weight of a dolphin would be measured differently (in different procedure and using different instruments) from the weight of an elephant or a snake. This means that the model errors will be dependent on the height, i.e. explanatory variable. They could be dependent in many different ways. For instance, maybe we tend to slightly overestimate the elephant weights and slightly underestimate the snake's, etc.

So, here we established that it is easy to end up with a situation when the errors are correlated with the explanatory variables. Now, if we ignore this and proceed to regression as usual, we'll notice that the regression residuals are not correlated with the design matrix. This is because, by design the regression forces the residuals to be uncorrelated. Note, also that residuals are not the errors, they're the estimates of errors. So, regardless of whether the errors themselves are correlated or not with the independent variables the error estimates (residuals) will be uncorrelated by the construction of the regression equation solution.