Jak interpretować krzywą przeżycia modelu zagrożenia Coxa?

Jak interpretujesz krzywą przeżycia z proporcjonalnego modelu hazardu Coxa?

W tym przykładzie zabawki załóżmy, że mamy proporcjonalny model hazardu Coxa dla agezmiennej w kidneydanych i generujemy krzywą przeżycia.

library(survival)
fit <- coxph(Surv(time, status)~age, data=kidney)
plot(conf.int="none", survfit(fit))
grid()

Na przykład o czasie $200$, które stwierdzenie jest prawdziwe? czy oba są w błędzie?

• Oświadczenie 1: pozostanie nam 20% przedmiotów (np. Jeśli mamy) $1000$ ludzie, za dnia $200$powinniśmy mieć około $200$ lewo),

• Oświadczenie 2: Dla jednej osoby ma on / ona $20\%$ szansa na przeżycie w dzień $200$.

---

Moja próba: nie sądzę, aby te dwa stwierdzenia były takie same (poprawcie mnie, jeśli się mylę), ponieważ nie mamy założenia iid (czas przeżycia dla wszystkich ludzi NIE czerpie z jednej dystrybucji niezależnie). Jest ona podobna do regresji logistycznej w moje pytanie tutaj , wskaźnik szkodliwości dla każdej osoby zależy od$\beta^Tx$ dla tej osoby.

Ponieważ zagrożenie zależy od zmiennych towarzyszących, podobnie funkcja przetrwania. Model zakłada, że ​​funkcja hazardu osoby z wektorem zmiennym towarzyszącym$x$ jest

$$h(t;x) = h_0(t) e^{\beta'x}.$$ W związku z tym skumulowane zagrożenie tej osoby wynosi $$H(t;x) = \int_0^t h(u;x) du=\int_0^t h_0(u) e^{\beta'x} du = H_0(t)e^{\beta'x},$$ gdzie możemy zdefiniować $H_0(t)=\int_0^t h_0(u) du$jako podstawowe skumulowane zagrożenie. Funkcja przeżycia dla osoby z wektorem zmiennym towarzyszącym$x$ jest z kolei $$S(t;x) = e^{-H(t;x)}=e^{-H_0 e^{\beta'x}}=S_0(t)^{e^{\beta'x}}$$ gdzie zdefiniujemy $S_0(t) = e^{-H_0(t)}$ jako podstawowa funkcja przeżycia.

Podane szacunki $\hat\beta$ i $\hat S_0(t)$ współczynników regresji i wyjściowej funkcji przeżycia, oszacuj funkcję przeżycia dla osoby z wektorem współzmiennym $x$ jest dany przez $\hat S(t;x)=\hat S_0(t)^{e^{\hat\beta'x}}$.

Oblicz to w R, określ wartość zmiennych towarzyszących w newdataargumencie. Na przykład, jeśli chcesz funkcji przeżycia dla osób w wieku = 70, w R, zrób

plot(survfit(fit, newdata=data.frame(age=70)))

Jeśli, tak jak ty, pominiesz newdataargument, jego wartość domyślna będzie równa średnim wartościom zmiennych towarzyszących w próbce (patrz ?survfit.coxph). To, co pokazano na wykresie, jest szacunkowe$S_0(t)^{e^{\beta'\bar x}}$.

Pozostanie nam 20% przedmiotów (np. Jeśli mamy 1000 osób, do 200 dnia powinniśmy mieć 200 osób)? lub Dla danej osoby ma 20% szans na przeżycie w dniu 200?

W najczystszej postaci krzywa Kaplana-Meiera w twoim przykładzie nie zawiera żadnej z powyższych instrukcji.

Pierwsze oświadczenie sprawia, że przyszłościowy projekcja będzie miała . Podstawowa krzywa przetrwania opisuje tylko przeszłość, twoją próbkę. Tak, 20% twojej próbki przeżyło do 200 dnia. Czy 20% przetrwa w ciągu następnych 200 dni? Niekoniecznie.

Aby stworzyć to stwierdzenie, musisz dodać więcej założeń, zbudować model itp. Model nie musi nawet być statystyczny w sensie podobnym do regresji logistycznej. Na przykład może to być PDE w epidemiologii itp.

Twoje drugie stwierdzenie opiera się prawdopodobnie na pewnym założeniu jednorodności: wszyscy ludzie są tacy sami.

Dzięki za odpowiedź Jarle Tufto. Myślę, że powinienem być w stanie sam na to odpowiedzieć: oba stwierdzenia są fałszywe . Wygenerowana krzywa to$S_0(t)$ ale nie $S(t)$.

Wyjściowa funkcja przeżycia $S_0(t)$ będzie równa $S(t)$ tylko kiedy $x=0$. Dlatego krzywa NIE opisuje całej populacji ani żadnej osoby.

Twoja pierwsza opcja jest poprawna. Ogólnie,$S(t) = 0.2$ wskazuje, że 20% początkowych pacjentów przeżyło do dnia $t$, bez uwzględnienia cenzury . W przypadku danych ocenzurowanych nie jest poprawne stwierdzenie, że 20% wciąż żyło tego dnia , ponieważ niektóre z nich zostały wcześniej utracone, a ich status jest nieznany. Lepszym sposobem na określenie tego byłoby oszacowanie, że odsetek pacjentów nadal żyjących tego dnia wynosi 20% .

Druga opcja (szansa na przeżycie jeszcze jednego dnia, pod warunkiem przetrwania do $t$) jest $1-h(t)$, z $h(t)$ oznaczający funkcję hazardu.

Odnośnie do założeń: Myślałem, że zwykłe testy współczynników w regresji Coxa zakładają niezależność, zależnie od obserwowanych zmiennych towarzyszących? Nawet szacunki Kaplana-Meiera wydają się wymagać niezależności między czasem przeżycia a cenzurą ( odniesienie ). Ale mogę się mylić, więc poprawki są mile widziane.