Średnia geometryczna jest obiektywnym estymatorem średniej, którego ciągłego rozkładu?

11

Czy istnieje ciągły rozkład, który można wyrazić w formie zamkniętej, którego średnia jest taka, że ​​średnia geometryczna próbek jest obiektywnym estymatorem tej średniej?

Aktualizacja: Właśnie zdałem sobie sprawę, że moje próbki muszą być dodatnie (w przeciwnym razie średnia geometryczna może nie istnieć), więc może ciągłe nie jest właściwym słowem. Co powiesz na rozkład, który jest zerowy dla wartości ujemnych zmiennej losowej i jest ciągły dla wartości dodatnich. Coś w stylu okrojonej dystrybucji.

użytkownik53608
źródło
2
Rozkład może być ciągły, mając ściśle dodatnią przestrzeń próbki (np. Rozkład gamma).
Gracz
1
Czy masz również na myśli przykład, w którym średnia geometryczna z próbki jest bezstronnym estymatorem pierwszego momentu? Widziałem tylko średnią geometryczną dyskretnego zestawu danych i nie jestem pewien, jak zdefiniowana zostanie „prawdziwa” (tj. Na poziomie populacji) średnia geometryczna dla ciągłego rozkładu ... Może ? exp(E(log(X)))
Gracz
Działa dla rozkładu logarytmicznego.
Michael R. Chernick
Posiada jeśli zmienna losowa równa się pewne pozytywne stały skalar prawie na pewno . Nie inaczej cXc
Matthew Gunn

Odpowiedzi:

19

Sądzę, że pytasz, jaki jest, jeśli w ogóle, rozkład rv , taki, że jeśli mamy próbkę o wielkości z tego rozkładu, to utrzyma, żen > 1Xn>1

E[GM]=E[(i=1nXi)1/n]=E(X)

Ze względu na założenie , że mamy

E[(i=1nXi)1/n]=E(X11/n...Xn1/n)=E(X11/n)...E(Xn1/n)=[E(X1/n)]n

i pytamy, czy możemy

[E(X1/n)]n=E(X)

Ale z powodu nierówności Jensena i faktu, że funkcja władzy jest ściśle wypukła dla mocy wyższych niż jedność, mamy to, prawie na pewno dla nie-zdegenerowanej (niestałej) zmiennej losowej,

[E(X1/n)]n<E[(X1/n)]n=E(X)

Więc nie ma takiej dystrybucji.

W odniesieniu do wzmianki o rozkładzie logarytmiczno-normalnym w komentarzu, średnia geometryczna ( ) próbki z rozkładu logarytmiczno-normalnego jest tendencyjnym, ale asymptotycznie spójnym estymatorem mediany . Wynika to z faktu, że w przypadku rozkładu logarytmicznego tak jestGM

E(Xs)=exp{sμ+s2σ22}

(gdzie i są parametrami podstawowej normy, a nie średnią i wariancją log-normal).σμσ

W naszym przypadku więc otrzymujemys=1/n

E(GM)=[E(X1/n)]n=[exp{(μ/n)+σ22n2}]n=exp{μ+σ22n}

(co mówi nam, że jest to stronniczy estymator mediany). Ale

lim[E(X1/n)]n=limexp{μ+σ22n}=eμ

która jest medianą rozkładu. Można również wykazać, że wariancja średniej geometrycznej próbki jest zbieżna do zera, a te dwa warunki są wystarczające, aby estymator był asymptotycznie spójny - dla mediany,

GMpeμ
Alecos Papadopoulos
źródło
Być może należy dodać, że nierówność Jensena, zastosowana z funkcją ściśle wypukłą, jest równością tylko wtedy, gdy jest tak samo stały. X
Olivier,
@Olivier: Myślę, że jest to wystarczająco znana właściwość, że może po prostu dodać bałagan, aby ją uwzględnić. W każdym razie nierówność Jensena tak naprawdę nie jest nawet potrzebna, ponieważ rozważenie przypadku jest już wystarczające w połączeniu z faktem, że implikuje prawie na pewno przez jeszcze bardziej elementarny argument. V a r ( X ) = 0 X = 0n=2Var(X)=0X=0
kardynał
4

Jest to podobny argument do doskonałej odpowiedzi Alecosa, ponieważ nierówność średniej arytmetycznej, średniej geometrycznej jest konsekwencją nierówności Jensena.

  • Niech będzie średnią arytmetyczną:AnAn=1ni=1nXi

  • Niech będzie średnią geometryczną:GnGn=(i=1Xi)1n

Że średnia arytmetyczna, średnia geometryczna nierówności stwierdza, że równości wtedy i tylko wtedy, gdy każdy obserwacja jest równa: . (Nierówność AMGM jest konsekwencją nierówności Jensena .)AnGnX1=X2==Xn

Przypadek 1: prawie na pewnoX1=X2==Xn

Następnie .E[Gn]=E[An]=E[X]

W pewnym sensie jest to przypadek całkowicie zdegenerowany.

Przypadek 2: dlaP(XiXj)>0ij

Istnieje zatem dodatnie prawdopodobieństwo, że średnia geometryczna jest mniejsza niż średnia arytmetyczna. Ponieważ dla wszystkich wyników i , wówczas mamy . E [ A n ] = E [ X ] E [ G n ] < E [ X ]GnAnE[An]=E[X]E[Gn]<E[X]

Matthew Gunn
źródło