Czy istnieje ciągły rozkład, który można wyrazić w formie zamkniętej, którego średnia jest taka, że średnia geometryczna próbek jest obiektywnym estymatorem tej średniej?
Aktualizacja: Właśnie zdałem sobie sprawę, że moje próbki muszą być dodatnie (w przeciwnym razie średnia geometryczna może nie istnieć), więc może ciągłe nie jest właściwym słowem. Co powiesz na rozkład, który jest zerowy dla wartości ujemnych zmiennej losowej i jest ciągły dla wartości dodatnich. Coś w stylu okrojonej dystrybucji.
distributions
geometric-mean
użytkownik53608
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Sądzę, że pytasz, jaki jest, jeśli w ogóle, rozkład rv , taki, że jeśli mamy próbkę o wielkości z tego rozkładu, to utrzyma, żen > 1X n>1
Ze względu na założenie , że mamy
i pytamy, czy możemy
Ale z powodu nierówności Jensena i faktu, że funkcja władzy jest ściśle wypukła dla mocy wyższych niż jedność, mamy to, prawie na pewno dla nie-zdegenerowanej (niestałej) zmiennej losowej,
Więc nie ma takiej dystrybucji.
W odniesieniu do wzmianki o rozkładzie logarytmiczno-normalnym w komentarzu, średnia geometryczna ( ) próbki z rozkładu logarytmiczno-normalnego jest tendencyjnym, ale asymptotycznie spójnym estymatorem mediany . Wynika to z faktu, że w przypadku rozkładu logarytmicznego tak jestGM
(gdzie i są parametrami podstawowej normy, a nie średnią i wariancją log-normal).σμ σ
W naszym przypadku więc otrzymujemys=1/n
(co mówi nam, że jest to stronniczy estymator mediany). Ale
która jest medianą rozkładu. Można również wykazać, że wariancja średniej geometrycznej próbki jest zbieżna do zera, a te dwa warunki są wystarczające, aby estymator był asymptotycznie spójny - dla mediany,
źródło
Jest to podobny argument do doskonałej odpowiedzi Alecosa, ponieważ nierówność średniej arytmetycznej, średniej geometrycznej jest konsekwencją nierówności Jensena.
Niech będzie średnią arytmetyczną:An An=1n∑ni=1Xi
Niech będzie średnią geometryczną:Gn Gn=(∏i=1Xi)1n
Że średnia arytmetyczna, średnia geometryczna nierówności stwierdza, że równości wtedy i tylko wtedy, gdy każdy obserwacja jest równa: . (Nierówność AMGM jest konsekwencją nierówności Jensena .)An≥Gn X1=X2=…=Xn
Przypadek 1: prawie na pewnoX1=X2=…=Xn
Następnie .E[Gn]=E[An]=E[X]
W pewnym sensie jest to przypadek całkowicie zdegenerowany.
Przypadek 2: dlaP(Xi≠Xj)>0 i≠j
Istnieje zatem dodatnie prawdopodobieństwo, że średnia geometryczna jest mniejsza niż średnia arytmetyczna. Ponieważ dla wszystkich wyników i , wówczas mamy . E [ A n ] = E [ X ] E [ G n ] < E [ X ]Gn≤An E[An]=E[X] E[Gn]<E[X]
źródło