Załóżmy że . Pokaż

18

Jak najłatwiej sprawdzić, czy poniższe stwierdzenie jest prawdziwe?

Załóżmy że . Pokaż .Y1,,YniidExp(1)i=1n(YiY(1))Gamma(n1,1)

Zauważ, że .Y(1)=min1inYi

Przez XExp(β) oznacza to, że fX(x)=1βex/β1{x>0} .

Łatwo zauważyć, że Y(1)Exponential(1/n) . Ponadto mamy również i=1nYiGamma(α=n,β=1) pod parametryzacją

fY(y)=1Γ(α)βαxα1ex/β1{x>0}α,β>0.

Rozwiązanie podane w odpowiedzi Xi'ana : Używając notacji w pierwotnym pytaniu:

ja=1n[Yja-Y(1)]=ja=1n[Y(ja)-Y(1)]=ja=1nY(ja)-nY(1)=ja=1n{Y(ja)-Y(ja-1)+Y(ja-1)--Y(1)+Y(1)}-nY(1)=ja=1njot=1ja{Y(jot)-Y(jot-1)}-nY(1) gdzie Y(0)=0=jot=1nja=jotn{Y(jot)-Y(jot-1)}-nY(1)=jot=1n(n-jot+1)[Y(jot)-Y(jot-1)]-nY(1)=ja=1n(n-ja+1)[Y(ja)-Y(ja-1)]-nY(1)=ja=2)n(n-ja+1)[Y(ja)-Y(ja-1)]+nY(1)-nY(1)=ja=2)n(n-ja+1)[Y(ja)-Y(ja-1)].
Z tego otrzymujemy ja=2)n(n-ja+1)[Y(ja)-Y(ja-1)]Gamma(n-1,1)1) .
Klarnecista
źródło
1
@MichaelChernick 1) Nie jestem pewien, czy mój dowód niezależności jest poprawny, i 2) Nie jestem pewien, czy wynik, który, jak przypuszczałem powyżej, odnoszący się do różnicy rozkładów gamma jest nawet poprawny. To wydaje się zaprzeczać temu, co tu podano , ale być może ta sytuacja jest inna, ponieważ różnica ta obejmuje jedną ze statystyk zamówień? Nie jestem pewny.
Klarnecista
1
@Clarinetist, nie jestem pewien. Może spróbuj pracować z , co wyraźnie równa się sumie, z którą pracujesz. Pomocna może być tutaj odpowiedź: math.stackexchange.com/questions/80475/…ja=2)n(Y(ja)-Y(1))
gammer
3
Czy próbowałeś udowodnić, że każdy - z wyjątkiem jednego , dla którego , a następnie, wykorzystując fakt, że suma iid zmiennych wykładniczych będzie rozkładana w gamma? i Y i - Y ( 1 ) = 0 ( n - 1 )(Yja-Y(1))Expon(1)jaYja-Y(1)=0(n-1)
Marcelo Ventura,
1
@jbowman Mamy i uwarunkowane na , dzielimy to przez , dając , stąd mamy . Oto, co mnie wkurzyło w tym dowodzie: uznałem za stałą. Ale nie jest stałą. Dlaczego to miałoby działać? Y ia e - a e - z i ( Z iY iA ) Exp ( 1 ) A Y ( 1 )
faZja(zja)=faYja(zja+za)=mi-(zja+za)
Yjazami-zami-zja(ZjaYjaZA)Exp(1)ZAY(1)
Klarnecista
1
Chodzi o to, że nie ma znaczenia, co jest! Rozkład jest zawsze ! Niezwykłe, prawda? Z tego można wywnioskować, że rozkład to zawsze dla , niezależnie od faktycznej wartości . Exp ( 1 ) Y i - Y [ 1 ] Exp ( 1 ) i > 1 Y [ 1 ]zaExp(1)Yja-Y[1]Exp(1)ja>1Y[1]
jbowman

Odpowiedzi:

15

Dowód podano w książce Mother of All Random Generation Books, Devroye's Non-uniform Random Variate Generation , na str. 211 (i jest to bardzo elegancki!):

Twierdzenie 2.3 (Sukhatme, 1937) Jeśli zdefiniujemy wówczas znormalizowane odstępy wykładnicze wyprowadzone z statystyka zamówień iid wykładniczej próbki o wielkości same są zmiennymi wykładniczymi( n - i + 1 ) ( E ( i ) - E ( i - 1 ) ) E ( 1 )E ( n ) nmi(0)=0

(n-ja+1)(mi(ja)-mi(ja-1))
mi(1)mi(n)n

Dowód. Ponieważ the łączna gęstość statystyki zamówienia zapisuje jako Ustawienie , zmiana zmiennych z do ma stałą jakobian [nawiasem mówiąc równyale nie trzeba tego obliczać] i stąd gęstość (E(1),,E(n

ja=1nmija=ja=1nmi(ja)=ja=1njot=1ja(mi(jot)-mi(jot-1))=jot=1nja=jotn(mi(jot)-mi(jot-1))=jot=1n(n-jot+1)(mi(jot)-mi(jot-1))
f( e )=n!(mi(1),,mi(n)) Y i = ( E ( i ) - E ( i - 1 ) ) ( E ( 1 ) , , E ( n ) ) ( Y 1
fa(mi)=n!exp{-ja=1nmi(ja)}=n!exp{-ja=1n(n-ja+1)(mi(ja)-mi(ja-1))}
Yja=(mi(ja)-mi(ja-1))(mi(1),,mi(n))1 / n ! ( Y 1 , , Y n )(Y1,,Yn)1/n!(Y1,,Yn) jest proporcjonalny do który ustala wynik. CO BYŁO DO OKAZANIA
exp{-ja=1nyja}

Alternatywą zaproponowaną mi przez Gérarda Letaca jest sprawdzenie, czy ma taki sam rozkład jak (na podstawie właściwości bez pamięci), co powoduje wyprowadzenie proste.( E 1

(mi(1),,mi(n))
n k=1(Ek-E(1)) n - 1 k=1Ek
(mi1n,mi1n+mi2)n-1,,mi1n+mi2)n-1++min1)
k=1n(mik-mi(1))k=1n-1mik
Xi'an
źródło
1
Dziękuję za tę odpowiedź! Chciałbym podać kilka szczegółów dla każdego, kto to czyta w przyszłości: są obserwowanymi wartościami i najłatwiejszym sposobem, aby zobaczyć, że ma napisać termin po terminie. Ponieważ gęstość jest proporcjonalna do , oddziel aby zobaczyć, że gęstość jest proporcjonalna do , stąd .mijamijaja=1nmi(ja)=ja=1n(n-ja+1)(mi(ja)-mi(ja-1))=ja=1nmi(ja)ja=1n(n-ja+1)(mi(ja)-mi(ja-1))(Y1,,Yn)exp(-ja=1nyja)yjaja=1nmi-yjaY1,,YniidExp(1)
Klarnecista
5

Przedstawiam tutaj to, co zostało zasugerowane w komentarzach @jbowman.

Niech stała . Niech podąży za i rozważ . Następnieza0YjaExp (1)Zja=Yja-za

Pr(ZjazjaYjaza)=Pr(Yja-zazjaYjaza)

Pr(Yjazja+zaYjaza)=Pr(Yjazja+za,Yjaza)1-Pr(Yjaza)

Pr(zaYjazja+za)1-Pr(Yjaza)=1-mi-zja-za-1+mi-zami-za=1-mi-zja

która jest funkcją dystrybucji .Exp (1)

Opiszmy to: prawdopodobieństwo, że rv spadnie w określonym przedziale (licznik w ostatnim wierszu), biorąc pod uwagę, że przekroczy dolną granicę przedziału (mianownik), zależy tylko od długość interwału, a nie w miejscu, w którym ten interwał jest umieszczony na linii rzeczywistej. Exp (1)Jest to wcielenie właściwości „bez pamięci ” rozkładu wykładniczego, tutaj w bardziej ogólnym ustawieniu, bez interpretacji czasu (i ogólnie dotyczy rozkładu wykładniczego)

Teraz, kondycjonowania w zmusić być nieujemne, a co najważniejsze, otrzymany wynik posiada . Możemy więc stwierdzić, co następuje: {Yjaza}ZjazaR+

Jeśli , to . YjaExp (1)Q0:Zja=Yja-Q0 ZjaExp (1)

Czy możemy znaleźć które może swobodnie przyjmować wszystkie nieujemne wartości rzeczywiste i dla których wymagana jest nierówność (prawie na pewno)? Jeśli możemy, możemy zrezygnować z argumentu warunkowego. Q0

I rzeczywiście możemy. Jest to statystyka minimalnego rzędu , , . Więc uzyskaliśmyQ=Y(1)Pr(YjaY(1))=1

YjaExp (1)Yja-Y(1)Exp (1)

To znaczy że

Pr(Yja-Y(1)yja-y(1))=Pr(Yjayja)

Jeśli więc struktura probabilistyczna pozostanie niezmieniona, jeśli statystykę minimalnego rzędu, wynika z tego, że zmienne losowe i gdzie niezależne, są również niezależne, ponieważ możliwy związek między nimi, nie ma wpływu na strukturę probabilistyczną.YjaZja=Yja-Y(1)Zjot=Yjot-Y(1)Yja,YjotY(1)

Zatem suma zawiera iid zmiennych losowych (i zero), i takja=1n(Yja-Y(1))n-1 Exp (1)

ja=1n(Yja-Y(1))Gamma(n-1,1)
Alecos Papadopoulos
źródło